Упражнения

1. Какие из следующих отношений являются функциями? Укажите их области определения и области значений:

Здесь и далее - множество всех целых чисел, N — множество всех целых неотрицательных чисел.

2. Пусть — двухэлементное множество. Найдите все отображения множества А в себя и укажите, какие из них инъективны.

3. Наймите все отображения множества на множество

4. Докажите, что для каждой функции f и любого множества тогда и только тогда, когда

5. Докажите, что если есть такое отображение множества А на А, что то

6. Докажите, что если f — функция и А, Б — множества, то . Покажите на примерах, что случай равенства может не иметь места.

7. Пусть Докажите, что R является отображением множества А в В тогда и только тогда, когда и

8. Докажите, что каждая из следующих функций имеет обратную. Найдите область определения обратной функции:

9. Для любых множеств А, В и С докажите, что:

существует инъективное отображение множества на

существует инъективное отображение множества на

10. Пусть - отображение множества А в А. Докажите, что если то является инъективным отображением множества А на А.

11. Пусть f — отображение из множества А в В. Покажите, что если то

12. Докажите, что для любой функции f выполняются соотношения:

13. Докажите, что если то

14. Докажите, что для каждой функции и любых множеств А и В. Если функция, то для любых множеств А и В.

15. Пусть -отображение множества а в Б и -отображение множества В в С. Докажите, что:

если отображение инъективно, то и инъективно; если есть отображение А на С, то g есть отображение В на С.

16. Докажите, что отображение является инъективным отображением множества А на В тогда и только тогда, когда существует отображение такое, что

17. Докажите, что бинарное отношение является инъективным отображением множества А на Б тогда и только тогда, когда

18. Докажите, что функция f удовлетворяет условию Для любых множеств А и Б тогда и только тогда, когда функция инъективна.

19. Пусть А и В — конечные множества, состоящие из элементов соответственно, и Докажите, что существует инъективных отображений множества А в Б.

20. Пусть А и Б — конечные множества, состоящие из элементов соответственно.

При каких тип существует инъективное отображение множества А в Б?

Сколько существует отображений множества А в Б?

Сколько существует бинарных отношений между элементами множеств А и Б?