Леммы о симметрических полиномах.

Пусть — кольцо полиномов от

ЛЕММА 2.4. Если — высший член симметрического полинома, то

Доказательство. Пусть f — полином из симметрический относительно и

— высший член полинома f. В нормальное представление симметрического полинома f входят также одночлены

Так как одночлен (1) выше одночлена (2), то

Поскольку одночлен (1) выше одночлена (3), то и т. д. Следовательно,

ЛЕММА 2.5. Пусть — высший член ненулевого симметрического полинома Тогда высшие члены полиномов f и совпадают.

Доказательство. Нетрудно видеть, что элементарные симметрические полиномы имеют соответственно следующие высшие члены:

По лемме о высшем члене произведения полиномов, высшими членами полиномов

являются соответственно одночлены

В силу той же леммы произведение этих одночленов, т. е. одночлен является высшим членом произведения полиномов (1). Таким образом, высшие члены полиномов f и совпадают.

Пусть — кольцо полиномов от На множестве ненулевых полиномов этого кольца введем бинарное отношение тогда и только тогда, когда высший член f выше, чем высший член g. Нетрудно видеть, что это отношение есть отношение линейного порядка.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Последовательность полиномов из называется убывающей цепочкой, если

ЛЕММА 2.6. Убывающая цепочка ненулевых симметрических полиномов кольца полиномов не может быть бесконечной.

Доказательство. Пусть (1) есть убывающая цепочка симметрических полиномов. Тогда высший член выше, чем высший член для . Пусть — высший член полинома . Из симметричности по лемме 2.4, следует, что

Пусть () — вектор показателей высшего члена любого симметрического полинома цепочки (1), отличного от . В силу (1)

поэтому

Заменим эти условия следующими, более слабыми условиями

Число векторов из удовлетворяющих условиям (3), при фиксированном конечно и равно Поэтому число векторов (), удовлетворяющих условиям (2), также конечно, так как из условий (2) следуют условия (3). Следовательно, цепочка (3) не может быть бесконечной.