§ 8. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ ФОРМА КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА. ИЗВЛЕЧЕНИЕ КОРНЕЙ ИЗ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ

Тригонометрическая форма комплексного числа.

Наряду с алгебраической формой комплексного числа широко применяется тригонометрическая форма.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 8.1. Для любых действительных чисел х и у, удовлетворяющих условию

существует единственное действительное число такое, что

Доказательство. Предположим, что действительные числа х и у удовлетворяют условию (1), тогда

Любое действительное число, удовлетворяющее условию (3), принадлежит области значений функции в замкнутом интервале .

Следовательно, существует такое действительное число что

В силу (1) и . Если то положим Если же то положим . В любом случае действительное число удовлетворяет условиям (2).

Предположим, что — произвольное действительное число, удовлетворяющее условиям

Допустим, что тогда

Но поэтому равенство возможно лишь в случае или . Если , то ; из равенств следует что невозможно. Таким образом, случай, когда невозможен. Следовательно, .

ТЕОРЕМА 8.2. Для любого комплексного числа , отличного от нуля, существует единственная пара действительных чисел такая, что

Доказательство. Если удовлетворяет условиям

(1), то Следовательно, существует не более одного действительного числа , удовлетворяющего условиям (1).

Пусть , где а, b — действительные числа. Положим . Тогда . В силу предложения 8.1 существует единственное действительное число , удовлетворяющее условиям

Так как , то из (2) следует

С другой стороны, из (3) следуют равенства . Поэтому из условий (3) следуют условия (2). Таким образом, условия (2) и (3) при равносильны.

Следовательно, существует единственная пара действительных чисел, удовлетворяющих условиям (1).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Тригонометрической формой комплексного числа z называется его представление в виде , где — действительные числа и .

ТЕОРЕМА 8.3. Пусть

— два представления комплексного числа в тригонометрической форме. Тогда и существует такое целое число k, что .

Доказательство. В теореме 8.2 установлено, что из (1) и (2) следуют соответственно равенства или По теореме 6.3, для пары чисел существуют действительное число а и целое число такие, что

Аналогично, для чисел существуют действительно число и целое число такие, что

На основании формул (1), (3) имеем и

В силу формул (2), (4) получаем и

Поскольку из (5) и (6) следует, что

Так как то, по теореме 8.2, из (7) получаем

На основании (3), (4) и (8) заключаем, что где

ТЕОРЕМА 8.4. Пусть , где — действительные числа;

тогда

Доказательство. В силу дистрибутивности умножения комплексных чисел относительно сложения имеем

Отсюда следует формула (1), поскольку

В силу формулы (1) получаем

поэтому

Следовательно, по формуле (1),

Формула (3) доказывается индукцией по на основании формулы (1). Формула (4) получается из формулы (3) при

Формулы (3) и (4) называются формулами Муавра.