Лемма о высшем члене произведения двух полиномов.

При изучении свойств симметрических полиномов необходима следующая лемма.

ЛЕММА 2.3. Пусть — кольцо полиномов от над областью целостности . Высший член произведения двух ненулевых полиномов кольца равен произведению высших членов сомножителей.

Доказательство. Пусть и g — ненулевые полиномы рассматриваемого кольца, высшие члены соответственно полиномов f и g.

Надо доказать, что высшим членом полинома является одночлен

Заметим, что так как — область целостности. Пусть

— любые ненулевые слагаемые в нормальных представлениях полиномов соответственно. Тогда выполняются неравенства

Нам достаточно показать, что если хотя бы одно из этих неравенств является строгим, то

В самом деле, если хотя бы одно из неравенств (2) и (3) является строгим, то

и в силу (2), (3), (5)

Из (6) следует (4). Неравенство (4) выполняется для любых ненулевых слагаемых (1) в нормальных представлениях полиномов f и g, по крайней мере одно из которых не является высшим членом соответствующего полинома. На основании этого заключаем, что одночлен (I) является высшим членом произведения