Алгебра линейных операторов векторного пространства

Пусть — векторное пространство над полем линейные операторы этого пространства. Произведение определяется как композиция т. е. как отображение пространства в себя, ставящее в соответствие элементу из V элемент

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3.1. Произведение любых двух линейных операторов векторного пространства есть линейный оператор этого пространства.

Доказательство. Пусть — линейные операторы пространства . Произведение удовлетворяет условиям линейности. Действительно, если то

Таким образом, произведение есть линейный оператор пространства .

Пусть — векторное пространство над полем . В силу следствия есть векторное пространство над полем

где — унарная операция умножения линейных операторов пространства на скаляр X. Рассмотрим алгебру

где бинарная операция есть операция умножения линейных операторов пространства ; эта алгебра называется алгеброй линейных операторов пространства и обозначается

ТЕОРЕМА 3.2. Пусть — векторное пространство над полем Алгебра является линейной алгеброй над полем

Доказательство. Согласно теореме 2.2, алгебра

есть векторное пространство над полем

Кроме того, выполнены условия билинейности:

Докажем равенство (1). Если , то

т. е. имеет место (1). Аналогично доказывается (2). Докажем первое из равенств (3). Если , то

. Аналогично доказывается равенство