Гомоморфизмы колец.

В соответствии с определением гомоморфизма алгебр и с тем, что кольца частный случай алгебр, дадим следующие определения.

Пусть — кольца. Говорят, что отображение h множества К в К сохраняет главные операции кольца , если выполнены условия:

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Гомоморфизмом кольца в кольцо называется отображение множества К в , сохраняющее все главные операции кольца . Гомоморфизм кольца на называется эпиморфизмом.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Г омоморфизм h кольца на кольцо называется изоморфизмом, если h является инъективным отображением множества К на К. Кольца называются изоморфными, если существуют изоморфизм кольца на .

Запись означает, что кольца изоморфны.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Гомоморфизм h кольца в кольцо называется мономорфизмом или вложением, если h является инъективным отображением множества

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Гомоморфизм кольца в себя называется эндоморфизмом кольца . Изоморфизм кольца на себя называется автоморфизмом кольца .

Так, например, автоморфизмом кольца является тождественное отображение кольца на себя.

ТЕОРЕМА 4.2. Если отображение h кольца в кольцо треводит единицу кольца в единицу кольца и сохраняет операции сложения и умножения, т. е.

то h переводит нуль кольца в нуль кольца и является гомоморфизмом.

Доказательство. Рассмотрим аддитивные группы

колец . По условию, h сохраняет операцию сложения. Отсюда, согласно теореме 3.1, следует, что h переводит нуль кольца в нуль кольца и является гомоморфизмом группы в группу . В частности, для любого из К. Следовательно, отображение h сохраняет все главные операции кольца и является гомоморфизмом.

ТЕОРЕМА 4.3. Отношение изоморфизма на каком-нибудь множестве колец рефлексивно, транзитивно и симметрично и, значит, является отношением эквивалентности.

Эта теорема непосредственно следует из теоремы 2.5. Примеры. 1. Пусть Q — множество рациональных чисел, Алгебра является кольцом. Отображение определяемое формулой есть инъективное отображение множества на себя. Отображение f сохраняет главные операции кольца Действительно, для любых

Следовательно, отображение f является автоморфизмом кольца

2. Пусть К — множество всех матриц вида с рациональными а и b и — кольцо таких матриц.

Отображение определяемое формулой

есть инъективное отображение множества на К. Нетрудно проверить, что отображение h сохраняет главные операции кольца Следовательно, h является изоморфизмом кольца на кольцо .

3. Пусть L — множество всех матриц вида называемых диагональными, с рациональными а и b. Алгебра где является кольцом. Отображение определяемое формулой

есть отображение, сохраняющее главные операции кольца X. Следовательно, f является гомоморфизмом кольца X на кольцо рациональных чисел.