Конечные цепные дроби.

Любое рациональное число можно представить в виде где а и b — целые числа и . Применив к а и b алгоритм Евклида, получим цепочку равенств:

где

Эту цепочку равенств можно записать в виде

Пользуясь этими равенствами, можно выразить через числа Действительно, первое равенство запишем в виде

заменяя здесь его выражением из второго равенства, имеем

и т. д. В результате мы получаем

Выражение, стоящее справа в этом равенстве, называют конечной цепной дробью.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Конечной цепной дробью называется выражение вида

где — целое число, — положительные целые числа и

Цепную дробь (1) обычно сокращенно записывают в виде

Приведенные выше рассуждения показывают, что любое рациональное число можно представить в виде конечной цепной дроби.

Пример. Разложим в цепную дробь число

С помощью алгоритма Евклида находим:

или

Можно показать, что всякое рациональное число обладает единственным представлением в виде конечной цепной дроби.