Мультипликативная группа классов вычетов, взаимно простых с модулем.

Рассмотрим теорему, выражающую весьма важное свойство классов вычетов, взаимно простых с модулем.

ТЕОРЕМА 3.5. Множество классов вычетов по модулю , взаимно простых с модулем, образуют относительно умножения абелеву группу.

Доказательство. Пусть — множество всех классов вычетов по модулю , взаимно простых с . Произведение любых двух классов вычетов по модулю , взаимно простых с модулем, является классом вычетов взаимно простых с модулем, и, значит, множество замкнуто относительно умножения. Далее, операция умножения классов коммутативна и ассоциативна. Класс , является нейтральным элементом относительно умножения. Докажем, что для любого класса существует в обратный класс. Пусть

— приведенная система вычетов по модулю т. Тогда согласно предложению 3.4 также есть приведенная система вычетов по модулю ; следовательно, она содержит число, сравнимое с 1. Пусть . Тогда следовательно, есть класс, обратный классу а в Таким образом, система является абелевой группой. О

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Группа называется мультипликативной группой классов вычетов по модулю , взаимно простых с модулем.

СЛЕДСТВИЕ 3.6. Если — простое число, то множество ненулевых классов вычетов является абелевой группой относительно умножения.

ТЕОРЕМА 3.7. Кольцо классов вычетов по модулю тогда и только тогда является полем, когда есть простое число.

Доказательство. Пусть — простое число. Тогда согласно следствию 3.6 множество всех ненулевых классов вычетов по модулю есть группа относительно умножения.

Поэтому кольцо классов вычетов по модулю является полем.

Пусть — составное число, . Тогда , причем согласно условию

Таким образом, кольцо классов вычетов содержит делители нуля и поэтому не может быть полем.

Если , то кольцо классов вычетов по модулю является нулевым. Если же , то кольцо классов вычетов по модулю изоморфно кольцу и поэтому не является полем.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Число а называется обратным к числу b по модулю , если . Числа а и b будем также называть взаимно обратными по модулю .

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3.8. Пусть число а взаимно простое с модулем и — числитель предпоследней подходящей дроби для числа — . Тогда , т. е. число является обратным к элементу а по модулю т.

Доказательство. Пусть — две последние подходящие дроби для числа . Тогда и, согласно следствию 11.3.5,

Следовательно,

Пример. Найдем число, обратное числу 79 по модулю

Разложим число в цепную дробь, тогда

Вычислим числители подходящих дробей к числу по схеме

есть числитель предпоследней подходящей дроби для числа 273/79. Следовательно, число является обратным к числу 79, т. е.