§ 2. СИММЕТРИЧЕСКИЕ ПОЛИНОМЫ

Лексикографическое упорядочение членов полинома.

Пусть N — множество всех натуральных чисел и — фиксированное натуральное число, отличное от нуля. Элементы множества суть -мерные векторы с натуральными координатами. Пусть

На множестве введем лексикографическое упорядочение, считая, по определению,

если положительна первая ненулевая координата вектора При этом будем говорить, что вектор ниже вектора k, а вектор k выше вектора

ТЕОРЕМА 2.1. Лексикографическое упорядочение на множестве является отношением строгого линейного порядка.

Доказательство. Из определения лексикографического упорядочения следует, что для любых двух векторов i, к из выполняется одно и только одно из трех условий:

Отношение множестве транзитивно. В самом деле, если , то , где . Отсюда следует, что и

СЛЕДСТВИЕ 2.2. Пусть М — непустое конечное подмножество множества . Тогда лексикографическое упорядочение (порядок) на индуцирует строгий линейный порядок на М.

Доказательство. Пусть — ненулевой полином кольца полиномов и

— его представление, не имеющее нулевых коэффициентов, т. е.

Пусть S — множество одночленов, входящих в (в сумму ). На множестве S введем отношение порядка, считая, что

в том и только в том случае, когда

Действительно, это бинарное отношение транзитивно, антирефлексивно и, кроме того, линейно. Следовательно, отношение лексикографического порядка на S является также строгим линейным порядком.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Наибольший элемент упорядоченного множества называется высшим членом полинома .

Если выполняется неравенство (3), то говорят, что член ниже, чем член . Высший член, очевидно, выше любого другого одночлена полинома .