Знак подстановки.

Знак любого рационального числа а определяется следующим образом:

Легко видеть, что для любых рациональных чисел а и b

Это свойство знака, называемое свойством мультипликативности, будет использовано при доказательстве леммы 3.3.

Обозначим через отображение множества в множество определяемое равенством:

Нетрудно видеть, что знак подстановки равен произведению знаков всех чисел соответствующих всевозможным парам различных элементов множества М, т. е.

ЛЕММА 3.3. Знак произведения двух подстановок равен произведению знаков этих подстановок, т. е.

Доказательство. Подстановку можно представить в виде

следовательно, имеем

В силу свойства мультипликативности знака

Поэтому из (2) следует, что

ТЕОРЕМА 3.4. Знак подстановки (функция ) обладает следующими свойствами:

(1) функция мультипликативна, т. е. для любых из

(2) знак транспозиции равен

(3) взаимно обратные подстановки имеют один и тот же знак;

(4) если — транспозиция и — любая подстановка из то

Доказательство. Свойство (1) выполняется в силу леммы 3.3. Свойство (2) непосредственно следует из леммы 3.2. В силу свойства (1)

для любой подстановки . Следовательно, Свойство (4) непосредственно следует из свойств (1) и (2). СЛЕДСТВИЕ 3.5. Произведение двух (или четного числа) подстановок одинаковой четности есть четная подстановка.

СЛЕДСТВИЕ 3.6. Произведение двух подстановок различной четности есть нечетная подстановка.