Факториальность кольца главных идеалов.

Нашей целью является обобщение на кольца главных идеалов теоремы о существовании и единственности разложения элементов кольца целых чисел на простые множители.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Говорят, что элемент а области целостности обладает однозначным разложением на простые множители, если выполняются условия:

(1) существуют в такие простые элементы что

(2) если — другое разложение, в котором простые элементы , то и при соответствующей нумерации для .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Кольцо называется факториальным, если оно есть область целостности и всякий отличный от нуля необратимый элемент кольца обладает однозначным разложением на простые множители.

Отметим, что любое поле есть факториальное кольцо, так как не имеет отличных от нуля необратимых элементов.

ТЕОРЕМА 3.13. Кольцо главных идеалов факториально.

Доказательство. Пусть — кольцо главных идеалов. Нам надо доказать, что всякий отличный от нуля необратимый элемент кольца обладает разложением на простые множители. Допустим, что существует в необратимый ненулевой элемент а, который неразложим на простые множители в . Тогда элемент а является составным. Следовательно, его можно представить в виде произведения двух собственных делителей и, по пункту

(4) теоремы 3.8, (а) а

По крайней мере один из множителей например не обладает разложением на простые множители. Следовательно, можно представить в виде произведения двух собственных множителей:

и т. д. Таким образом, существует бесконечная возрастающая цепочка

идеалов кольца , Что невозможно в силу предложения 3.12. Следовательно, всякий необратимый отличный от нуля элемент кольца обладает разложением на простые множители.

Докажем однозначность разложения на простые множители. Если а — простой элемент, то теорема верна. Предположим, что теорема верна для элементов, представимых в виде произведения простых множителей, и докажем, что тогда она верна для элементов, представимых в виде произведения простых множителей. Пусть даны любые два разложения элемента а на простые множители:

Простой элемент делит произведение Следовательно, по предложению 3.14, он делит хотя бы один из множителей например Так как — простые, то где — обратимый элемент кольца. Сокращая обе части равенства (1) на имеем

Следовательно, по индуктивному предположению, и при соответствующей нумерации для . Кроме того, Индукция проведена полностью.