Глава восьмая. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

§ 1. ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ

Линейные отображения и операторы.

Рассмотрим гомоморфизмы векторных пространств; они называются также линейными отображениями.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть U и — векторные пространства надполем . Отображение называется линейным, отображением или гомоморфизмом, если оно удовлетворяет условиям линейности, т. е. для любых и любого выполняются условия

Если линейное отображение U на инъективно, то оно называется изоморфизмом или изоморфным отображением U на

Множество всех линейных отображений (гомоморфизмов) пространства U в пространство будем обозначать ).

Линейное отображение векторного пространства в себя называется линейным оператором пространства Множество всех линейных операторов пространства обозначается .

Пусть — линейное отображение векторного пространства U на векторное пространство . Тогда для любых векторов из U и любых скаляров

Доказательство проводится индукцией по . Если то ввиду линейности отображения имеем Допустим, что предложение верно для векторов. Тогда, используя равенство

получаем

По индуктивному предположению,

Кроме того, . Следовательно, выполняется равенство (1).

Примеры. L Пусть — векторное пространство. Отображение ставящее в соответствие каждому вектору из V этот же вектор, т. е. есть линейный оператор. Он называется тождественным или единичным оператором пространства.

2. Пусть — векторное пространство над полем и X — фиксированный элемент поля. Отображение ставящее в соответствие вектору вектор есть линейный оператор пространства . Он называется оператором гомотетии с коэффициентом . Оператор гомотетии с коэффициентом называется нулевым оператором. Оператор гомотетии с коэффициентом есть тождественный оператор.

3. Пусть . Любой элемент из однозначно представим в виде где . Отображение ставящее в соответствие вектору его компоненту I в прямом слагаемом U, есть линейный оператор пространства . Он называется оператором проектирования.

4. Пусть — векторное пространство (над ) действительных функций одной переменной определенных и неограниченно дифференцируемых на множестве R действительных чисел. Оператор ставящий в соответствие каждому элементу его производную есть линейный оператор, так как удовлетворяет условиям линейности

для любых и любого Этот оператор называется оператором дифференцирования.

5. Пусть — арифметическое пространство -мерных вектор-столбцов и — фиксированная квадратная - матрица над полем Отображение пространства в себя, ставящее в соответствие каждому вектору вектор , есть линейный оператор пространства

ТЕОРЕМА 1.1. Пусть — векторные пространства над полем — базис пространства — произвольные векторы пространства Тогда существует единственное линейное отображение пространства U в пространство удовлетворяющее условиям

Доказательство. Любой вектор пространства U можно представить в виде линейной комбинации базисных векторов, т. е. в виде Обозначим через отображение U в определяемое равенством

Легко видеть, что отображение удовлетворяет условиям (1).

Отображение удовлетворяет условиям линейности. Действительно, если

то

Следовательно, в силу определения отображения

Предположим, что — линейное отображение U в удовлетворяющее условиям . Тогда для любого вектора пространства U имеем

СЛЕДСТВИЕ 1.2. Пусть U и — векторные пространства над — базис пространства — такие линейные отображения U в , что для . Тогда

СЛЕДСТВИЕ 1.3. Пусть — базис векторного пространства — произвольные векторы этого пространства. Тогда существует единственный линейный оператор пространства удовлетворяющий условиям (1).