§ 4. ЦЕЛЫЕ СИСТЕМАТИЧЕСКИЕ ЧИСЛА
Целые систематические числа.
Пусть g — натуральное число большее 1 и
Говорят, что натуральное число а записано в позиционной системе с основанием g, если

где s — целое неотрицательное, 
Если каждое число множества
обозначено специальным символом, то эти символы называются цифрами
-ичной позиционной системы. Представление (1) записывается тогда сокращенно в виде

и называется записью в
-ичной позиционной системе. Так, например, запись

запись

ТЕОРЕМА 4.1. Пусть g — данное натуральное число, большее единицы, и
. Всякое натуральное число а однозначно представимо в виде

где
Доказательство. Существование представления (1) доказывается индукцией по а. Если
или
, то равенство
является искомым представлением. Пусть
предположим, что возможность представления (1) уже установлена для всех натуральных чисел, меньших, чем а. Так как
, то разделив а на g с остатком, получим

Поскольку
, то согласно индуктивному предположению число b представимо в виде

Подставив выражение (3) для b в правую часть (2), получим представление для числа а,

которое называется разложением числа а по степеням числа 
Докажем однозначность представления индукцией по а. Если
, то легко видеть, что единственность имеет место. Предположим, что единственность доказана для всех натуральных чисел, меньших, чем а. Предположим, что кроме (1) для а существует другое представление:

Ввиду (1) и (4) имеем

Из (5) в силу однозначности деления с остатком следует, что

Так как
то, по индуктивному предположению,
для 