Теорема о существовании простого трансцендентного расширения коммутативного кольца.

Пусть — ненулевое коммутативное кольцо. Бесконечная последовательность элементов из К, у которой все члены кроме конечного их числа, равны нулю, называется псевдобесконечной последовательностью над Для всякой псевдобесконечной последовательности а существует такое натуральное число , что для всех Множество всех псевдобесконечных последовательностей над обозначим через

На множестве введем отношение равенства, считая, что тогда и только тогда, когда для любого натурального числа

Сумма любых двух элементов определяется равенством

Ниже через (а будем обозначать компоненту суммы

Произведение элемента из на элемент а из определяется формулой . В частности, полагаем

Сложение в коммутативно, ассоциативно, обладает нейтральным элементом и для каждого а из элемент является противоположным, т. е. а Следовательно, алгебра является коммутативной группой.

Произведение любых двух элементов из определяется формулой

где для любого натурального числа k.

Ниже через будем обозначать компоненту произведения

Таким образом, на множестве определены две бинарные операции (сложение и умножение и унарная операция ставящая в соответствие каждому а из противоположный элемент Всюду ниже -единица кольца

ЛЕММА 1.3. Алгебра является коммутативным кольцом.

Доказательство. Выше было установлено, что алгебра есть абелева группа. Из определения умножения в непосредственно следует, что оно коммутативно. Умножение в ассоциативно. В самом деле, для любых а, b, с из

Следовательно,

Умножение в дистрибутивно относительно сложения. В самом деле, для любых а, b, с из

Следовательно, Кроме того, 1 является нейтральным элементом относительно умножения в

Итак, установлено, что алгебра является коммутативным кольцом.

Положим

нулей

Всякий элемент из можно записать в виде

т. е.

где — такое натуральное число, что для всякого

Для любого натурального система элементов линейно независима над т. е. для любых элементов множества из равенства

следуют равенства

В самом деле, из (1) следует

поэтому .

Положим Из определения умножения в следует, что

Следовательно, всякий элемент а из для которого при любом можно представить в виде

ТЕОРЕМА 1.4. Для каждого ненулевого коммутативного кольца существует простое трансцендентное расширение.

Доказательство. Пусть — множество всех псевдобесконечных последовательностей над По лемме 1.3, алгебра

является коммутативным кольцом.

Множество

замкнуто в кольце и не пусто. Следовательно, алгебра

является подкольцом кольца Отображение такое, что

очевидно, есть инъективное отображение множества на К. Кроме того, сохраняет главные операции кольца так как для любых из К

Следовательно, является изоморфизмом кольца на Таким образом, содержит подкольцо изоморфное кольцу

Нам надо по кольцу построить новое кольцо, изоморфное и содержащее подкольцо . Для этого заменим в множестве каждый элемент из элементом из К (т. е. заменим элементом ), оставляя все остальные элементы множества неизменными. Положим

и определим отображение следующим образом:

Нетрудно видеть, что h является инъективным отображением множества на L, продолжающим отображение т. е. .

На множестве L определим операции формулами

Рассмотрим алгебру Из формул (I) следуют формулы

Формулы (II) показывают, что есть изоморфизм алгебры на кольцо . Отсюда следует, что алгебра является коммутативным кольцом, изоморфным кольцу Главные операции в кольце являются продолжениями соответствующих операций в кольце . В самом деле, в силу (I) для любых а и из К имеем:

Следовательно, является подкольцом кольца .

Любой элемент из можно представить в виде линейной комбинации элементов с коэффициентами из К, так как

Следовательно,

Элемент является трансцендентным относительно . В самом деле, равенство

влечет равенство

Поскольку элементы линейно независимы над отсюда следует, что . Следовательно, есть трансцендентный элемент относительно и кольцо является трансцендентньм расширением кольца с помощью