Теорема Лагранжа.

Пусть — конечная группа. Число элементов ее основного множества G называется порядком группы

ТЕОРЕМА 2.5 (ЛАГРАНЖА). Порядок подгруппы конечной группы является делителем порядка группы.

Доказательство. Пусть — подгруппа конечной группы S и .

— множество всех различных правых смежных классов группы по подгруппе . Тогда

причем любые два смежных класса, входящих в это объединение, не пересекаются. Поэтому если — число элементов множества G и — число элементов множества , то, по свойству 2.4, число элементов любого смежного класса равно силу

СЛЕДСТВИЕ 2.6. Если — конечная группа порядка и то порядок элемента g делит .

СЛЕДСТВИЕ 2.7. Любая конечная группа простого порядка является циклической.