§ 6. СИСТЕМА ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

Упорядоченные поля.

Алгебраическая система называется линейно упорядоченным множеством, если выполнены следующие условия:

(а) для любых а, b, с из F, если и , то

для любой пары элементов а, b из F выполняется одно и только одно из трех соотношений:

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Упорядоченным полем называется алгебраическая система удовлетворяющая условиям:

(1) алгебра есть поле;

(2) система есть линейно упорядоченное множество;

(3) для любых а, b, с из F, если , то (монотонность сложения);

(4) для любых а, о, с из F, если , то (монотонность умножения).

Элемент а упорядоченного поля называется положительным, если По определению, тогда и только тогда, когда Далее, по определению, тогда и только тогда, когда или а — b.

Пр и мер. Пусть — поле рациональных чисел обычное отношение порядка на множестве Q. В силу теоремы 5.3 условия приведенного выше определения выполняются. Следовательно, система есть упорядоченное поле. Эта система называется упорядоченным полем рациональных чисел.

ТЕОРЕМА 6.1. Пусть -упорядоченное поле и а, b, с, d — любые его элементы. Тогда

в том и только в том случае, когда

(2) для любого а из F выполняется одно и только одно из трех условий:

(3) если то т. е. множество положительных элементов упорядоченного поля замкнуто относительно сложения и умножения,

(4) если , то

(5) если , то

(6) если

(7) для всякого натурального

(8) поле , то есть область целостности.

Доказательство. (1) В силу монотонности сложения в том и только в том случае, когда Следовательно, тогда и только тогда, когда b

(2) Утверждение (2) справедливо в силу того, что — линейно упорядоченное множество (см. условие ).

(3) Ввиду монотонности сложения из следует . В силу монотонности умножения из следует

(4) В силу монотонности сложения если то Следовательно,

(5) В силу (1) если , то . В силу монотонности умножения отсюда получаем . Следовательно, .

(6) В силу монотонности умножения если , то Если же , то

(7) В поле . В силу как множество положительных элементов упорядоченного поля замкнуто относительно сложения, из следует, что для всякого отличного от нуля натурального .

(8) В силу теоремы 5.1 для любых элементов а, b поля, если , то . Следовательно, по закону контрапозиции, если , то или . Таким образом, поле является областью целостности.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Абсолютное значение элемента а упорядоченного поля обозначается через и определяется следующим образом:

ТЕОРЕМА 6.2. Пусть а и b — произвольные элементы упорядоченного поля; тогда

Доказательство. (1) Равенство (1) непосредственно следует из определения абсолютного значения элемента.

(2) Если , то . Если же , то

(3) Если , то в силу неравенства (2)

Если же b), то также в силу (2)

Следовательно, в любом случае верно неравенство (3).

(4) Равенство (4) верно, если а или b равно нулю. Если элементы а и b положительны, то . Если , то . Если , то Наконец, если , то (5) Неравенство а имеет место тогда и только тогда, когда . Поэтому тогда и только тогда, когда и т. е. при —