Связь между координатными столбцами вектора относительно различных базисов.

Пусть — ненулевое -мерное векторное пространство над полем Пусть даны два базиса этого пространства: — первый базис, — второй базис. Векторы второго базиса представим в виде линейных комбинаций первого базиса:

Матрицей перехода от первого базиса ко второму называется матрица Т,

столбец которой является координатным столбцом вектора относительно первого базиса.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2.7. Матрица Т обратима. Доказательство. Из линейной независимости векторов следует линейная независимость координатных столбцов этих векторов, т. е. линейная независимость столбцов матрицы Т (см. следствие 7.4). Согласно теореме 5.1, отсюда следует, что матрица Т обратима. Координатный столбец вектора относительно первого базиса обозначим через относительно второго через Найдем связь между

ТЕОРЕМА 2.8. Пусть и - координатные столбцы вектора соответственно относительно первого и второго базисов и Т — матрица перехода от первого базиса пространства ко второму. Тогда выполняются равенства

Доказательство. Пусть и

следовательно,

Подставив в (5) выражения для из равенств (1), получим

откуда

Из (4) и (6) следуют равенства

Отсюда получаем равенство

Умножив слева обе части этого равенства на получим (3).

СЛЕДСТВИЕ 2.9. Если — координатные строки вектора соответственно относительно первого и второго базисов, то