ЕГЭ и ОГЭ
Хочу знать
Главная > Математика > Алгебра и теория чисел
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Научная библиотека

Научная библиотека

избранных естественно-научных изданий

Научная библиотека служит для получения быстрого и удобного доступа к информации естественно-научных изданий, получивших широкое распространение в России и за рубежом. На сайте впервые широкой публике представлены некоторые авторские издания написанные ведущими учеными страны.

Во избежании нарушения авторского права, материал библиотеки доступен по паролю ограниченному кругу студентов и преподавателей вузов. Исключение составляют авторские издания, на которые имеются разрешения публикации в открытой печати.

Математика

Физика

Методы обработки сигналов

Схемотехника

Астрономия

Разное

Макеты страниц

§ 2. НАИБОЛЬШИЙ ОБЩИЙ ДЕЛИТЕЛЬ И НАИМЕНЬШЕЕ ОБЩЕЕ КРАТНОЕ

Наибольший общий делитель.

Целое число с называется общим делителем целых чисел если с есть делитель каждого из этих чисел.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Наибольшим общим делителем целых чисел называется такой их общий делитель, который делится на любой общий делитель этих чисел. Целые числа называются взаимно простыми, если их наибольший общий делитель равен единице.

Наибольший общий делитель чисел обозначается НОД положительный наибольший общий делитель этих чисел обозначается

СЛЕДСТВИЕ 2.1. Если d есть наибольший обилий делитель целых чисел то множество всех общих делителей этих чисел совпадает с множеством всех делителей числа

СЛЕДСТВИЕ 2.2. Любые два наибольших общих делителя целых чисел ассоциированы, т. е. могут отличаться только знаком. Если d есть наибольший общий делитель чисел то число также есть наибольший общий делитель этих чисел.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2.3. Если суть канонические разложения целых положительных чисел , то число

является наибольшим общим делителем чисел

Доказательство. Число d является делителем как числа а, так и числа b в силу предложения 1.7, т. е. d есть общий делитель а и b. Далее, если с — любой положительный общий делитель а и b, то в силу предложения 1.7

причем для каждого делителя а и b выполняются неравенства

Поэтому Следовательно, d есть наибольший общий делитель чисел а и b.

Пусть — любые целые числа. Рассмотрим множество

всех целочисленных линейных комбинаций чисел . Легко проверить, что это множество есть идеал в . Этот идеал называется идеалом, порожденным числами и обозначается через

ТЕОРЕМА 2.4. Для любой совокупности целых чисел существует наибольший общий делитель. Число d является наибольшим общим делителем чисел тогда и только тогда, когда идеал равен идеалу

Доказательство. Если все числа равны нулю, то единственным наибольшим общим делителем этих чисел является число нуль.

Предположим, что хотя бы одно из чисел отлично от нуля. Рассмотрим множество всех целочисленных линейных комбинаций чисел . Множество содержит числа , так как , где для Поэтому множество I содержит числа, отличные от нуля. Множество I есть идеал кольца целых чисел, порожденный числами Согласно теореме 4.4, каждый идеал кольца является главным и, значит, состоит из кратных некоторого целого числа d, Докажем, что d есть НОД . Так как каждый элемент множества I делится на d, то для есть общий делитель чисел Далее, так как то ввиду (1) существуют такие целые числа что

Отсюда следует, что любой общий делитель с чисел есть также делитель числа d. Таким образом, любой элемент d, порождающий идеал является наибольшим общим делителем чисел Из доказанного, в частности, следует, что любая конечная совокупность чисел обладает наибольшим общим делителем.

Пусть — любой наибольший общий делитель чисел и d — по-прежнему число, порождающее идеал докажем, что . Любые два НОД чисел ассоциированы, т. е. могут отличаться только знаком. Ввиду этого . Поэтому идеал совпадает с идеалом (d). Следовательно,

Анализ доказательства предыдущей теоремы дает возможность формулировать также следующую теорему.

ТЕОРЕМА 2.5. Наибольший общий делитель d целых чисел представим в виде целочисленной линейной комбинации этих чисел, т. е. в форме с целыми При этом если не все числа равны нулю, то есть наименьшее целое положительное число, представимое в этой форме. Все числа, представимые в этой форт, т. е. все числа идеала являются кратными числу

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2.6. Если общий делитель d целых чисел представим в виде целочисленной линейной комбинации этих чисел, то d есть наибольший общий делитель чисел

Доказательство. Предположим, что общий делитель d чисел представим в виде

где целые числа. Тогда любой общий делитель чисел делит сумму и, значит, d. Таким образом, d есть наибольший общий делитель чисел

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2.7. Для любых целых чисел а, b, с

Доказательство. Пусть есть . Тогда d есть общий делитель чисел и , а число есть общий делитель чисел Поэтому d есть общий делитель чисел а, b и с. Согласно теореме 2.5, числа d и можно представить в виде

где целые числа; поэтому Таким образом, общий делитель d чисел а, b, с можно линейно выразить через эти числа. Следовательно, согласно предложению 2.6, d является наибольшим делителем этих чисел.

Это предложение дает возможность свести нахождение наибольшего общего делителя нескольких чисел к нахождению наибольшего общего делителя двух чисел.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2.8. Для любых целых чисел а, b и с

Доказательство. Пусть d есть . Тогда согласно теореме 2.5 d можно представить в виде

где целые числа, поэтому Кроме того, так как d есть общий делитель а и b, то есть общий делитель Следовательно, согласно предложению 2.6, число есть наибольший общий делитель чисел

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление