Глава шестая. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

§ 1. ОПЕРАЦИИ НАД МАТРИЦАМИ И ИХ СВОЙСТВА

Операции над матрицами; Всюду в этой главе есть фиксированное поле, которое будем называть полем скаляров. Элементы множества F будем называть скалярами.

Пусть — целые положительные числа. Таблицу

с элементами из F называют матрицей над полем или -матрицей над кратко обозначают через и пишут Если то матрицу А называют квадратной матрицей порядка . Множество всех -матриц над полем обозначается через . В частности, множество всех квадратных матриц над порядка обозначается через

Сохраним прежние обозначения для строк и столбцов матрицы А: строка матрицы А обозначается через

столбец матрицы обозначается через

Две -матрицы называют равными и пишут если для любых индексов t и

Матрица называется нулевой и обозначается через О, если все ее элементы равны нулю.

Суммой двух -матриц А и В называется -матрица, элемент которой равен т. е.

Произведением скаляра на матрицу называется -матрица обозначаемая через :

Для матрицы выполняется равенство

Поэтому матрицу обозначают также через называют противоположной матрице А.

Пусть

Таким образом, мы предполагаем, что число столбцов матрицы равно числу строк матрицы В. Произведение строки на столбец определяется так:

Произведением матриц А и В называется -матрица, элемент которой равен т. е.

Итак, если есть -матрица и В есть -матрица, то АВ является -матрицей.

ТЕОРЕМА 1.1. Умножение матриц ассоциативно, т. е. для любых матриц А, В и , если произведения АВ и ВС существуют.

Доказательство. По условию, произведения АВ и ВС существуют. Поэтому можно считать, что . Следовательно, произведения А (ВС) и существуют и принадлежат множеству . Пусть элементы матриц Я и Я соответственно. Докажем, что для любых индексов i и k. В самом деле,

Следовательно, для любых индексов i и k, т. e.

ТЕОРЕМА 1.2. Операции над матрицами обладают следующими свойствами:

(6) умнозкение матриц ассоциативно;

(7) умножение матриц дистрибутивно относительно сложения, т. е. если произведение АВ и сумма существуют, и если произведение В А и сумма существуют;

(8) для любого скаляра К и любых матриц А, В

если произведение АВ существует,

Доказательство. Свойства (1)-(5) доказываются аналогично доказательству соответствующих свойств сложения векторов и умножения на скаляр векторов арифметических векторных пространств.

По теореме 1.1, умножение матриц ассоциативно.

Докажем, что умножение матриц дистрибутивно относительно сложения. Пусть . Легко проверить, что Отсюда следует, что суть -матрицы. Покажем, что элементы этих матриц равны, т. е. . В самом деле,

Следовательно, . Аналогично доказывается, что , если произведение и сумма существуют.

Для доказательства свойства (8) найдем элементы матриц :

Эти три выражения равны между собой в силу свойств сложения и умножения скаляров. Следовательно,