Упражнения

1. Пусть А -квадратная матрица порядка (над полем Обозначим через матрицу, у которой в строке и столбце стоит 1, а все остальные элементы равны нулю. Покажите, что

2. На основании равенства докажите, что матрица А тогда и только тогда перестановочна с каждой из матриц когда А имеет вид где

3. Пользуясь результатом предыдущей задачи, покажите, что матрица А тогда и только тогда перестановочна с произвольной квадратной матрицей порядка (надполем), когда где

4. Пусть А — квадратная матрица порядка n. Докажите, что матрица А перестановочна с произвольной диагональной матрицей порядка тогда и только тогда, когда матрица Л сама диагона льна.

5. Пусть А — диагональная матрица и все элементы ее главной диагонали различны между собой. Покажите, что любая матрица, перестановочная с А, также диагональна.

6. Покажите, что квадратная матрипа А порядка перестановочная со всякой симметрической матрицей того же порядка, является скалярной, т. е. где —скаляр и Е — единичная матрица порядка .

7. Пусть А — квадратная матрица порядка (надполем). Докажите, что множество всех матриц (над), перестановочных с матрицей А, замкнуто относительно сложения и умножения,