Циклические группы.

Ниже дано описание циклических групп.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Мультипликативная (аддитивная) группа называется циклической, если основное множество группы состоит из степеней (кратных) какого-либо одного элемента группы; этот элемент называется образующим элементом группы.

Примеры. 1. Пусть — аддитивная группа целых чисел. Каждый элемент группы является кратным 1 (или ). Следовательно, есть циклическая группа с образующим элементом 1 (или ).

2. Группа самосовмещений правильного -угольника является циклической группой порядка .

Поворот -угольника вокруг центра на угол есть образующий элемент этой группы.

3. Пусть — целое положительное число, , и - множество всех классов вычетов по модулю от. Операция сложения и унарная операция определяются так:

Операция сложения ассоциативна и коммутативна, 0 есть нейтральный элемент относительно сложения классов и . Следовательно, алгебра есть коммутативная группа порядка . Она является циклической группой с образующим элементом Г. Группа называется аддитивной группой классов вычетов по модулю от.

ТЕОРЕМА 3.6. Если образующий элемент циклической группы имеет бесконечный порядок, то группа изоморфна аддитивной группе целых чисел. Если образующий элемент циклической группы имеет конечный порядок , то группа изоморфна аддитивной группе классов вычетов по модулю .

Доказательство. Пусть — мультипликативная циклическая группа с образующим элементом а, т. е. Пусть — аддитивная группа целых чисел и — аддитивная группа классов вычетов по модулю от.

Первый случай: . В этом случае в силу предложения 3.5 все целочисленные степени образующего элемента а различны. Поэтому отображение f множества G на Z такое, что для всякого целого , является инъективным. Отображение f сохраняет главные операции группы так как для любых целых и

Следовательно, f является изоморфным отображением группы на группу

Второй случай: элемент а имеет конечный порядок от. Покажем, что в этом случае группа изоморфна группе Докажем, что Пусть — любой элемент из G.

По теореме о делении с остатком, для чисел существуют такие целые числа q и , что

Отсюда получаем

следовательно,

Рассмотрим отображение множества 0 на множество

В силу предложения является инъективным отображением множества G на . Кроме того, сохраняет главные операции группы , так как

Следовательно, является изоморфным отображением группы S на группу