Корни n-й степени из произвольного комплексного числа.

Тригонометрическая форма комплексного числа позволяет полностью решить вопрос об извлечении корней из комплексных чисел»

ТЕОРЕМА 8.7. Пусть — отличное от нуля комплексное число и — ненулевое натуральное число. Существует различных корней степени из числа с и все они получаются по формуле

Доказательство. Покажем, что , где — корни степени из единицы и

В самом деле, в силу формулы Муавра

Каждое из чисел есть корень степени из числа с, так как в силу (1)

Если — произвольный корень степени из числа с, то . Поэтому

и в силу (1)

Следовательно, множество является множеством всех корней степени из числа с.

Это множество содержит в точности различных элементов, поскольку

и числа попарно различны (по теореме 8.2).