Делители целого числа.

Зная каноническое разложение натурального числа, можно полностью описать делители этого числа.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.7. Пусть — натуральное число и

— его каноническое разложение на простые множители.

Тогда каждый натуральный делитель d числа может быть записан в виде

где — целые числа, удовлетворяющие условиям

Доказательство. Пусть d есть какой-либо натуральный делитель числа . Так как каждый простой делитель числа d является делителем числа , то ввиду (1) в разложении d на простые множители могут встречаться только числа множества . Поэтому число представимо в виде (2), причем показатели должны удовлетворять условиям (3).

С другой стороны, если d представимо в виде (2) и показатели удовлетворяют условиям (3), то

т. е. d является натуральным делителем числа .