Ранг линейного оператора.

Установим связь между рангом линейного оператора и рангом его матрицы.

ТЕОРЕМА 2.6. Ранг линейного оператора конечномерного ненулевого векторного пространства равен рангу матрицы этого оператора.

Доказательство. Пусть — фиксированный базис векторного пространства Пусть — координатные столбцы векторов относительно фиксированного базиса. Они являются столбцами матрицы оператора относительно фиксированного базиса, т. е.

Следовательно,

В силу следствия 7.3 ранг системы векторов равен рангу системы столбцов этих векторов. Отсюда и из (1) следует, что

Пусть — произвольный вектор пространства В силу линейности оператора выполняется равенство Поэтому

т. е. образ оператора порождается векторами

Согласно следствию 7.3, отсюда следует, что

На основании (2) и (3) заключаем, что ранг равен рангу матрицы