Упражнения

1. Представьте в тригонометрической форме комплексные числа:

2. Найдите множество точек плоскости, изображающих комплексные числа , для которых:

3. При каких условиях модуль суммы двух комплексных чисел равен сумме модулей слагаемых?

4. При каких условиях модуль суммы двух комплексных чисел равен разности модулей слагаемых?

5. Опишите следующие отображения

6. Пусть - натуральное число. Вычислите:

7. Вычислите сумму

8. Покажите, что

9. Выразите через

10. Найдите формулы, выражающие через

11. Выразите в виде многочлена первой степени от косинусов и синусов углов, кратных

12. Найдите все корни из единицы степени: (а)

13. Найдите все комплексные корни уравнений:

14. Найдите сумму и произведение всех корней степени из 1.

15. Пусть где — целое положительное число. Покажите, что комплексное число z является первообразным корнем степени из единицы тогда и только тогда, когда для некоторого натурального числа взаимно простого с ,

16. Найдите первообразные корни степени:

17. Найдите все комплексные числа, удовлетворяющие условию где — целое положительное число и -сопряженное с .

18. Докажите следующие утверждения:

произведение корня степени из 1 на корень степени из 1 есть корень степени из 1;

если тип взаимно простые, то существует только одно комплексное число 2, удовлетворяющее условиям

если числа тип взаимно простые, то все корни степени из 1 получаются умножением корней степени из 1 на корни степени из 1;

если тип взаимно простые, то произведение первообразного корня степени из 1 на первообразный корень степени из 1 есть первообразный корень степени из 1 и обратно,