Разложение полинома в произведение нормированных неприводимых множителей.

Пусть — поле, а — кольцо полиномов над

ТЕОРЕМА 2.11. Любой полином положительной степени из можно единственным образом представить в виде произведения элемента поля и нормированных неприводимых в кольце полиномов.

Доказательство. Пусть а — полином положительной степени из . Так как кольцо факториально, то полином а можно представить в виде произведения полиномов неприводимых в кольце . Пусть а — старший коэффициент полинома . Тогда , где — нормированный полином, неприводимый в Следовательно,

Докажем единственность разложения. Пусть

— произвольное разложение, в котором — нормированные полиномы, неприводимые в кольце Так как кольцо факториально, то: поскольку — старшие коэффициенты одного и того же полинома а; 2) при соответствующей нумерации полиномы ассоциированы. Поскольку — нормированные полиномы, то из их ассоциированности следует, что для

Пусть и

— разложение полинома а в произведение нормированных неприводимых в множителей. Пусть — все различные нормированные неприводимые множители полинома а и — кратности их вхождения в разложение (1). Тогда имеет место разложение

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Разложение (I) называется каноническим разложением полинома а из на неприводимые над У (нормированные) множители.