Упражнения.

1. Пусть N — множество всех целых положительных чисел и Т — операция на N возведения в степень, т. е. для любых а, Покажите, что операция Т не коммутативна и не ассоциативна.

2. Пусть — фиксированные рациональные числа. Покажите, что отображение где х, у — любые рациональные числа, является бинарной ассоциативной операцией на множестве рациональных чисел.

3. Пусть N — множество всех натуральных чисел и — наибольший общий делитель натуральных чисел х и у. Докажите, что отображение является коммутативной и ассоциативной бинарной операцией на множестве

4. Пусть — наименьшее общее кратное натуральных чисел х и у. Покажите, что отображение является коммутативной и ассоциативной операцией на множестве

5. Пусть - множество вссх подмножеств непустого множества U. Множество , определяемое формулой

называется симметрической разностью множеств X и Y. Докажите, что А есть коммутативная и ассоциативная бинарная операция на множестве Р (U). Покажите, что операция дистрибутивна относительно операции .

6. Приведите пример множества , отношения эквивалентности R на и бинарной операции Т на таких, что

— конгруэнция относительно

не является конгруэнцией относительно Т.