Базис конечной системы векторов.

Введем одно из основных понятий теории векторных пространств.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Базисом конечной системы векторов называется непустая линейно независимая ее подсистема, эквивалентная всей системе.

Другими словами, базис системы векторов — это непустая линейно независимая ее подсистема, через векторы которой линейно выражается каждый вектор данной системы.

ТЕОРЕМА 1.9. Конечная система векторов, содержащая хотя бы один ненулевой вектор, обладает базисом. Любые два базиса данной конечной системы векторов состоят из одинакового числа векторов.

Доказательство. Пусть задана система векторов

содержащая ненулевой вектор. Нулевые векторы можно исключить из системы (1), так как получающаяся при этом система эквивалентна исходной. Поэтому будем считать, что . Если система (1) линейно независима, то она есть базис этой системы.

Если система (1) линейно зависима, то, по свойству 1.3, существует вектор, например вектор и, равный линейной комбинации предшествующих ему векторов. Следовательно, подсистема

эквивалентна исходной системе и содержит ненулевой вектор. Если система (2) линейно независима, то она есть базис системы (1). Если же система (2) линейно зависима, то из нее можно вычеркнуть вектор, являющийся линейной комбинацией предшествующих ему векторов, и т. д. После конечного числа вычеркиваний получается подсистема векторов, ни один вектор которой не выражается линейно через предшествующие векторы; эта подсистема является базисом системы (1), так как она линейно независима и не пуста (содержит вектор ).

Пусть — два базиса системы векторов (1). Эти базисы эквивалентны, так как каждый из них эквивалентен системе (1). Следовательно, по теореме 1.7, эти базисы состоят из одинакового числа векторов, т. е.