Инъективные функции.

Среди функций, рассматриваемых в математике, большую роль играют инъективные функции.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция называется инъективной, если для любых х, у (из ) из условия следует, что

Другими словами, функция инъективна, если для любых из того, что следует, что

В силу закона контрапозиции из определения следует, что функция инъективна тогда и только тогда, когда для любых , если , то , т. е. для различных аргументов функция принимает различные значения.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Инъективное отображение непустого множества А на себя называется подстановкой множества А или преобразованием множества А.

В частности, подстановкой является тождественное или единичное отображение (а множества А на себя, т. е. такое отображение, что ) для каждого из А.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3.8. Если — отображение из множества А в множество В, то

ТЕОРЕМА 3.9. Композиция любых двух инъективных функций является инъективной функцией.

Доказательство. Пусть — инъективные функции. В силу инъективности для любых , если то Далее, в силу инъективности g для любых , если то Поэтому для любых , если то Следовательно, для любых , если то Таким образом, функция инъективна.

СЛЕДСТВИЕ 3.10. Композиция любых двух подстановок множества А есть подстановка множества А.

Это следствие непосредственно вытекает из теорем 3.4 и 3.9.

Пусть — функция. Инверсия функции может не быть функцией. Так, например, если дана функция где Z — множество всех целых чисел, то отношение не является функцией, так как содержит пары (1,1) и , Неодинаковыми первыми элементами и различными вторыми элементами.

Однако для функции где -множество всех целых неотрицательных чисел, инверсия является функцией.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3.11. Если f и g — функции, то

Это предложение непосредственно следует из предложения 2.1 и теоремы 2.3.

СЛЕДСТВИЕ 3.12. Если f — отображение множества А на В и — функция, то является отображением множества В на А.

ТЕОРЕМА 3.13. Инверсия функции f тогда и только тогда является функцией, когда функция f инъективна.

Доказательство. Отношение является функцией тогда и только тогда, когда для любых х, у, z, если то Это условие равносильно условию инъективности функции

для любых , если , то Следовательно, отношение является функцией тогда и только тогда, когда функция f инъективна.

СЛЕДСТВИЕ 3.14. Если f — инъективная функция, то — тоже инъективная функция. При этом если инъективное отображение А на В, то есть инъективное отображение В на А.

ТЕОРЕМА 3.15. Пусть f, g, h — функции, удовлетворяющие условиям:

Тогда если функция f инъективна, то

Доказательство. Предположим, что функция инъективна. В силу условий (1) и (2)

В силу инъективности f отсюда следует, что для любого из . Кроме того, ввиду Следовательно,