Глава шестнадцатая. ПОЛИНОМЫ НАД ПОЛЕМ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ И НАД ПОЛЕМ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

§ 1. АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ЗАМКНУТОСТЬ ПОЛЯ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ

Теорема о возрастании модуля полинома.

Пусть — кольцо полиномов над полем комплексных чисел - его основное множество.

ТЕОРЕМА 1.1. Пусть f — полином положительной степени из с М. Для всякого действительного числа существует такое действительное число что для любого комплексного числа как только . Доказательство. Пусть

В силу свойств модуля (теорема 4.7.8)

Следовательно, при

Положим

Отметим, что при выполняются неравенства и

На основании получаем

Легко видеть, что

Далее, имеем

На основании заключаем, что

где