Упражнения

1. Докажите, что умножение кватернионов ассоциативно.

2. Докажите, что в алгебре кватернионов система уравнений

имеет единственное решение, а система уравнений

решений не имеет.

3. Пусть - кватернион и Покажите, что для любых кватернионов а,

4. Покажите, что существует бесконечно много кватернионов, удовлетворяющих уравнению

5. Пусть - любой кватернион. Проверьте, что кватернионы а и а являются корнями уравнения

6. Покажите, что если кватернион а не является действительным числом, то существует только два кватерниона, удовлетворяющих уравнению

7. Докажите, что для любых двух кватернионов а и b

Выведите отсюда, что если каждое из чисел есть сумма квадратов четырех целых чисел, то произведение также есть сумма квадратов четырех целых чисел.

8. Докажите, что в алгебре кватернионов каждое из уравнений при имеет единственное решение.

9. Покажите, что множество всех отличных от нуля кватернионов образует группу относительно умножения,

10. Покажите, что восемь кватернионов образуют мультипликативную группу (она называется группой кватернионов).

И. Пусть — алгебра ранга над полем Покажите, что при любые k элементов алгебры линейно зависимы над полем

12. Пусть -соответственно комплексные матрицы

где . Покажите, что .

13. Докажите, что алгебра матриц вида

с действительными изоморфна алгебре кватернионов над полем действительных чисел,