Кольцо целых чисел.

Сначала дадим определение. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Кольцо называется кольцом целых чисел, если аддитивная группа кольца является аддитивной группой целых чисел и умножение в кольце Ж коммутативно и продолжает умножение натуральных чисел (в системе натуральных чисел).

ТЕОРЕМА 4.2. Пусть — аддитивная группа целых чисел, есть естественное умножение в ней и 1 — единица системы N натуральных чисел. Тогда алгебра является кольцом целых чисел.

Доказательство. Покажем, что алгебра есть коммутативное кольцо. По условию, алгебра — аддитивная группа кольца — есть абелева группа, как аддитивная группа целых чисел.

Пусть а, b, с — произвольные элементы множества Z. По теореме 4.1, их можно представить в виде разности натуральных чисел. Пусть

Естественное умножение в Z определяется формулой

Естественное умножение коммутативно, так как

и коммутативно сложение и умножение натуральных чисел.

Естественное умножение ассоциативно. В самом деле, в силу (1) и (2) имеем:

Следовательно, в силу коммутативности сложения натуральных чисел

Элемент 1 является нейтральным относительно естественного умножения. В самом деле, для любого а из Z имеем

Следовательно, алгебра является коммутативным, моноидом.

Естественное умножение дистрибутивно относительно сложения. Действительно,

Следовательно, Поскольку естественное умножение коммутативно, то имеет место также равенство

Итак, установлено, что алгебра является коммутативным кольцом.

Естественное умножение продолжает умножение натуральных чисел в системе — . В самом деле, для из

Кроме того, по условию, аддитивная группа кольца является аддитивной группой целых чисел. Следовательно, кольцо является кольцом целых чисел.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Если для целых чисел а и b существует такое натуральное число к, что , то говорят, что «а меньше b», и пишут . Говорят, что «а меньше или равно b», и пишут если или

Отношение, обратное к отношению обозначают символом . Таким образом, тогда и только тогда, когда

ТЕОРЕМА 4.3. Пусть кольцо целых чисел. Тогда

(1) для любых целых чисел выполняется одно и только одно из трех условий:

(2) для любого целого числа а выполняется одно и только одно из трех условий:

(3) отношение монотонно относительно сложения, т. е. для любых целых а, b и с

тогда и только тогда, когда

(4) отношение монотонно относительно умножения, т. е. для любых целых а, b и с

Доказательство теоремы предоставляется читателю.

Теорема о делении с остатком. Пусть а — целое число и b — натуральное число, отличное от нуля.

Разделить число а на b с остатком — значит представить его в виде , где q и — целые числа. При этом q называется неполным частным, а число — остатком от деления а на b.

Деление с остатком всегда выполнимо, а неполное частное и остаток однозначно определяются делимым и делителем, как показывает следующая теорема.

ТЕОРЕМА 4.4. Для любых целых чисел а, b при существует единственная пара целых чисел q и , удовлетворяющая условиям:

Доказательство. Докажем, что существует хотя бы одна пара чисел , удовлетворяющая условиям (1). Вначале рассмотрим случай, когда а — натуральное число. Фиксируем b и индукцией по а докажем, что

(2) существует пара целых чисел q, , удовлетворяющая (1). Для утверждение (2) верно, так как

Предположим, что (2) верно для т. е. существуют целые q, такие, что

и докажем, что оно верно для . Из (3) следует b. Если , то пара чисел является искомой. Если же , то и пара чисел является искомой.

Рассмотрим теперь случай, когда в этом случае — . По доказанному выше, для пары чисел — а, b существуют такие целые числа , что . Если , то , то .

Полагая и , получаем

Итак, доказано, что для любых целых чисел а, b при существует хотя бы одна пара целых чисел q, , удовлетворяющая условиям (1).

Осталось доказать, что существует единственная пара целых чисел, удовлетворяющая условиям (I). Допустим, что для целого числа а существует два представления:

Допустим, что Тогда или Если то в силу (4) и (5)

Из (6) и (7) следует, что и, значит, Отсюда в силу (7) вытекает неравенство которое противоречит (6). Аналогично убеждаемся, что невозможен случай Следовательно, и в силу . Так как , то