Степень полинома.

Пусть — ненулевое коммутативное кольцо и — кольцо полиномов от т. е. простое трансцендентное расширение с помощью

Любой ненулевой элемент а из можно единственным образом представить в виде линейной комбинации степеней с коэффициентами из К.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть а — полином из Натуральное число называется степенью полинома а, если где При этом с, называются коэффициентами полинома, элемент — старшим коэффициентом. Полином а называется нормированным, если его старший коэффициент равен единице кольца .

Обозначать степень полинома а будем через .

Таким образом, степень определена для всех полиномов, кроме нулевого; степень нулевого полинома не определяется. Степень полинома где — ненулевой элемент кольца , равна нулю.

Отметим некоторые свойства степени полинома.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.5. Степень суммы двух ненулевых полиномов не больше максимальной степени слагаемых, т. е. .

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.6. Степень произведения двух ненулевых полиномов не больше суммы степеней сомножителей, т. е. при

Доказательство предложений 1.5 и 1.6 предоставляется читателю.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.7. Если — область целостности, то степень произведения двух ненулевых полиномов равна сумме степеней сомножителей, т. е.

Доказательство. Пусть — полиномы над областью целостности . Тогда Так как — область целостности, то . Следовательно,

ТЕОРЕМА 1.8. Если — область целостности, то кольцо полиномов также является областью целостности.

Эта теорема непосредственно следует из предложения 1.7.

Из теорем 1.8 и 13.2.1 вытекает следующее следствие.

СЛЕДСТВИЕ 1.9. Для кольца полиномов над областью целостности существует поле частных.