Доказательство. Если
то
По условию, элемент и является трансцендентным относительно . Поэтому из (1) следуют равенства для
ТЕОРЕМА 1.2. Пусть — коммутативные кольца, — изоморфизм на , а — простые трансцендентные расширения колец соответственно. Тогда причем существует единственный изоморфизм кольца на кольцо переводящий х в у и продолжающий изоморфизм кольца на .
Доказательство. Обозначим через отображение кольца в кольцо определяемое следующим образом: для любого из
Нетрудно видеть, что удовлетворяет условиям: для любого из
Дроме того, сохраняет главные операции кольца Действительно, если то
Аналогично можно показать, что
Следовательно, есть изоморфизм на переводящий х в у и продолжающий изоморфизм
Докажем, что существует единственный изоморфизм с указанными свойствами. Допустим, что — другой изоморфизм кольца на кольцо такой, что для любого из