Изоморфизм колец полиномов.

Пусть — ненулевые коммутативные кольца.

ТЕОРЕМА 1.4. Пусть — изоморфные кольца и — изоморфизм на X, а кольца полиномов. Тогда существует изоморфизм кольца на кольцо переводящий соответственно в и продолжающий изоморфизм

Доказательство проведем индукцией по . Если то, по теореме 14.1.2, существует изоморфизм кольца на кольцо такой, что для всякого элемента а из К.

Допустим, что существует изоморфизм кольца на кольцо переводящий соответственно и продолжающий изоморфизм . Тогда, по теореме 14.1.2, существует изоморфизм кольца на кольцо переводящий и продолжающий изоморфизм

Учитывая, что, по теореме 1.1,

получаем, что — изоморфизм на переводящий элементы соответственно и продолжающий изоморфизм

Таким образом, утверждение теоремы верно для любого натурального числа n.

СЛЕДСТВИЕ 1.5. Пусть кольца полиномов над кольцом . Тогда существует изоморфизм кольца на кольцо переводящий соответственно в такой, что для любого элемента кольца