Связь между матрицами линейного оператора относительно различных базисов.

Пусть — ненулевое конечномерное векторное пространство, — первый базис пространства — второй базис пространства и Т — матрица перехода от первого базиса ко второму.

ТЕОРЕМА 2.10. Пусть — линейный оператор векторного пространства — матрицы этого оператора соответственно относительно первого и второго базисов и Т — матрица перехода от первого базиса ко второму, тогда .

Доказательство. Согласно теореме 2.8, для всякого

где — координатные столбцы вектора соответственно относительно первого и второго базисов. Заменяя в на , получаем

По теореме 2.3, , следовательно,

Ввиду (2) отсюда получаем

Так как это равенство верно для любого из V, то, по теореме 2.4, .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Матрицы А и В из множества рпхп называются подобными над полем если существует такая обратимая матрица что

Из теоремы 2.10 вытекает следующее следствие. СЛЕДСТВИЕ 2.11. Если — линейный оператор конечномерного ненулевого векторного пространства то матрицы этого оператора относительно любых двух базисов пространства подобны.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2.12. Отношение подобия матриц на множестве есть отношение эквивалентности.

Доказательство. Отношение подобия рефлексивно, так как где Е — единичная матрица. Отношение подобия симметрично, так как из равенства следует Отношение подобия транзитивно, так как из следует

Отношение подобия матриц над полем определяет разбиение множества на классы эквивалентности, которые называются классами подобных матриц. Каждому линейному оператору векторного пространства соответствует единственный класс подобных матриц.