Сравнения первой степени.
Найдем условия разрешимости сравнения первой степени.
ТЕОРЕМА 4.1. Если
, то сравнение

имеет одно и только одно решение.
Доказательство. По условию, число а — взаимно простое с
. Согласно теореме 3.5, существует целое число а, обратное к а по модулю
, т. е. 
Умножив обе части (1) на а, получим

Следовательно, сравнение (1) имеет не больше одного решения. С другой стороны, (2) есть решение сравнения (1), так как

Таким образом, класс вычетов
является единственным решением сравнения (1).
ТЕОРЕМА 4.2. Пусть
. Сравнение

разрешимо тогда и только тогда, когда
. Если
то сравнение (1) имеет своими решениями точно d классов вычетов по модулю
, которые составляют один класс вычетов по модулю
.
Доказательство. Пусть
Если сравнение (1) имеет решение
, то
, где k — целое число. Так как
, то отсюда следует, что d делит b.
Предположим теперь, что b делится на d, и докажем, что сравнение (1) имеет d решений. Пусть
. Сравнение (1) равносильно сравнению

Согласно теореме 4.1, сравнение (2) имеет единственное решение
где
— число, обратное
по модулю
Пусть
Класс вычетов
распадается на следующие d классов вычетов по модулю
:

Легко видеть, что классы вычетов (3) являются различными по модулю
. Таким образом, сравнение (2) имеет своими решениями классы вычетов (3), т. е. точно d классов вычетов по модулю
, которые составляют один класс вычетов по модулю 
Отметим, что совокупность решений (3) сравнения (1) есть смежный класс аддитивной группы 3 классов вычетов по модулю
по подгруппе 