Число и сумма натуральных делителей числа.

Предложение 1.7 позволяет подсчитать число и сумму натуральных делителей числа.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.8. Пусть — каноническое разложение на простые множители натурального числа . Тогда число натуральных делителей числа выражается формулой

Доказательство. Согласно предложению 1.7, любой натуральный делитель d числа представим в виде

где

Поэтому, чтобы найти число всех натуральных делителей числа , достаточно подсчитать число всевозможных упорядоченных наборов удовлетворяющих условиям (3). Ввиду может принимать значений, выборы различных значений не зависят один от другого и в силу единственности разложения на простые множители разным наборам соответствуют различные делители . Следовательно, число всех натуральных делителей числа равно

Примеры. 1. Пусть . Тогда и

2. Пусть . Тогда и

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.9. Пусть есть каноническое разложение натурального числа на простые множители. Тогда сумма всех натуральных делителей числа выражается формулой

Доказательство. Согласно предложению 1.7, каждый делитель числа имеет вид и

Легко видеть, что каждое слагаемое в (5) в точности один раз встречается после раскрытия скобок произведения

Следовательно, сумма (5) равна произведению (6). Так как каждый сомножитель есть сумма членов геометрической прогрессии, то произведение (6) равно

Таким образом, верна формула (4).

Пример. Пусть . Тогда и