Связь между координатными столбцами векторов х и ф(x).

Пусть

— фиксированный базис векторного пространства — линейный оператор этого пространства. Пусть, далее,

Обозначим через координатные столбцы соответственно векторов относительно фиксированного базиса (1):

Найдем связь между этими координатными столбцами.

ТЕОРЕМА 2.3. Пусть — линейный оператор векторного пространства и — матрица оператора относительно базиса (1). Тогда для любого вектора выполняется равенство

Доказательство. Пусть

тогда выполняются равенства (2). Если

Заменяя в этом равенстве векторы на основании (2), получаем

откуда

Следовательно,

ТЕОРЕМА 2.4. Пусть — линейный оператор векторного пространства — матрица оператора относительно фиксированного базиса (1). Если для любого вектора

то

Доказательство. Согласно определению матрицы

Подставив в (3) вместо последовательно базисные векторы получим

На основании (4) и (5) заключаем, что соответствующие столбцы матриц и В совпадают. Следовательно,

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2.5. Пусть — линейные операторы векторного пространства с фиксированным базисом тогда

Доказательство. Пусть

тогда

Следовательно,

и, по теореме 2.3,

Равенство (4) верно для любого По теореме 2.4, из (4) следует равенство (1).

В силу следовательно»

и, по теореме 2.3, для любого

Согласно теореме 2.4, из (5) следует (2).