Неприводимые над данным полем полиномы.

Пусть — кольцо полиномов над полем . В кольце обратимы только полиномы нулевой степени (делители единицы поля ), т. е. ненулевые элементы поля

Следовательно, любой полином положительной степени из необратим в кольце

Полином из является приводимым, или составным, в кольце или приводимым над полем если его можно представить в виде произведения двух полиномов положительной степени из

Другими словами, полином приводим в если он имеет положительную степень и обладает нетривиальными делителями.

Полином из является неприводимым, или простым, в кольце или неприводимым над полем если он имеет положительную степень и обладает только тривиальными делителями, т. е. любой делитель полинома либо ассоциирован с ним, либо ассоциирован с единицей.

Другими словами, полином а неприводим в кольце если он имеет положительную степень и в любом разложении вида где b, один из множителей (b или с) ассоциирован с единицей поля, а другой — ассоциирован с а.

Примеры. 1. Если — поле, то в кольце полиномов неприводим любой полином первой степени.

2. В кольце полиномов , где — поле действительных чисел, полином второй степени неприводим тогда и только тогда, когда он не имеет действительных корней.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2.7. Пусть — неприводимый и а — любой полином кольца Тогда либо делит а, либо и а — взаимно простые.

Доказательство. Мы предполагаем, что — поле. По следствию является кольцом главных идеалов. Следовательно, в силу 13.3.9 если не делит а, то Поэтому некоторых из F. Следовательно, по теореме 13.4.4, наибольший общий делитель равен 1, т. е. полиномы — взаимно простые.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2.8. Пусть — полином, неприводимый в кольце Если делит произведение то делит хотя бы один из полиномов

Это предложение непосредственно вытекает из следствия 2.3 и предложения 13.3.11.

ТЕОРЕМА 2.9. Пусть — кольцо полиномов над полем <эМ действительных чисел. Фактор-кольцо изоморфно полю комплексных чисел.

Доказательство. Пусть С — основное множество поля комплексных чисел. Пусть — отображение множества в С такое, что

Непосредственная проверка показывает, что h является эпиморфизмом кольца на поле комплексных чисел с ядром Следовательно, по теореме 13.1.6 о кольцевых эпиморфизмах получаем

ТЕОРЕМА 2.10. Пусть — кольцо полиномов над полем — полином, неприводимый в . Тогда фактор-кольцо является полем.

Доказательство этой теоремы предоставляется читателю.