Глава десятая. ГРУППЫ

§ 1. ПОЛУГРУППЫ И МОНОИДЫ

Полугруппы.

Пусть А — непустое множество. Бинарная операция на множестве А называется ассоциативной, если а для любых элементов а, b, с из А. Бинарная операция называется коммутативной, если для любых а, b из

Так, например, операции сложения и умножения целых чисел ассоциативны и коммутативны. Операция вычитания целых чисел неассоциативна и некоммутативна.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Полугруппой называется алгебра типа (2) с бинарной ассоциативной операцией Подалгебра полугруппы называется подполугруппой.

Примеры. 1. Пусть есть операция сложения на множестве N натуральных чисел. Алгебра есть полугруппа, так как операция сложения ассоциативна. Эта полугруппа называется аддитивной полугруппой натуральных чисел.

2. Пусть М — непустое множество и А — совокупность всех отображений множества М в себя с законом композиции отображений в качестве бинарной операции. Алгебра есть полугруппа, так как композиция отображений ассоциативна. Эта полугруппа называется полугруппой отобраясений множества М в себя.