Теоремы о следствиях системы линейных уравнений.

Рассмотрим систему линейных уравнений

над полем Линейное уравнение

где , называется следствием системы (I), если каждое решение системы (I) является решением этого уравнения.

Согласно предложению 2.1, любая линейная комбинация (с коэффициентами из поля ) уравнений системы (I) является следствием этой системы. Верно ли обратное утверждение? Ответ на этот вопрос дают следующие ниже теоремы.

ТЕОРЕМА 2.20. Линейное уравнение

являющееся следствием однородной системы уравнений

есть линейная комбинация уравнений этой системы.

Доказательство. По условию, уравнение (2) есть следствие системы (1). Следовательно, система

равносильна системе (1).

По теоремам 2.8 и 2.9, отсюда вытекает, что ранг матрицы А системы (1) равен рангу матрицы А системы (3). Поэтому если то

где есть строка матрицы A. На основании этого равенства заключаем, что с есть линейная комбинация строк матрицы A. Следовательно, уравнение (2) является линейной комбинацией уравнений системы (1).

ТЕОРЕМА 2.21. Две однородные системы линейных уравнений над полем с переменными равносильны тогда и только тогда, когда матрицы этих систем строчечно эквивалентны.

Эта теорема легко следует из теоремы 2.20.

ТЕОРЕМА 2.22. Линейное уравнение, являющееся следствием совместной системы линейных уравнений, есть линейная комбинация уравнений этой системы.

Доказательство. Предположим, что уравнение (II) есть следствие совместной системы (I). Тогда система уравнений

совместна и равносильна системе (I). По следствию 2.19, отсюда вытекает равносильность соответствующих однородных систем, т. е. система уравнений

равносильна системе уравнений

В силу теорем 2.8 и 2.9 ранг основной матрицы А системы (4) равен рангу основной матрицы Л системы (5). Следовательно, равны ранги основных матриц систем (1) и (3). Поскольку системы (1) и (3) совместны, то по критерию совместности отсюда вытекает, что строчечный ранг расширенной матрицы В системы (1) равен строчечному рангу расширенной матрицы В системы (3).

На основании равенства этих рангов заключаем, что последняя строка матрицы В является линейной комбинацией строк матрицы В, т. е.

Следовательно, уравнение (II) является линейной комбинацией уравнений системы (I).