Простые и составные элементы области целостности.

Пусть — область целостности.

Всякий элемент а кольца делится на любой обратимый элемент кольца (на любой делитель единицы кольца) и на каждый ассоциированный с а элемент кольца. Такие делители называются тривиальными делителями элемента а.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Собственным делителем элемента а называется любой его нетривиальный делитель, т. е. делитель, не ассоциированный с а и необратимый в кольце .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Элемент области целостности называется составным или приводимым в , если он отличен от нуля и его можно представить в виде произведения двух необратимых элементов кольца .

Другими словами, элемент области целостности называется составным, если он отличен от нуля и его можно представить в виде произведения двух собственных делителей.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Элемент области целостности называется простым или неприводимым в , если он отличен от нуля, необратим и имеет только тривиальные делители.

Отметим, что в любом поле нет простых и нет составных элементов.

Примеры. 1. В кольце целых чисел элемент , отличный от 0 и ± 1, является простым в том и только в том случае, когда его делителями являются только элементы . Простыми в кольце являются числа

2. В кольце элемент 6 составной, так как и 2, 3 — необратимые элементы.

Множество всех элементов области целостности распадается на четыре класса: 1) множество, содержащее один элемент — нуль; 2) множество всех обратимых элементов (множество всех делителей единицы); 3) множество всех простых элементов; 4) множество всех составных элементов. Последние два класса могут быть пустыми (если область целостности — поле).

ТЕОРЕМА 3.8. Пусть — область целостности, а, и 1— единица кольца . Тогда:

(5) тогда и только тогда, когда и а не делит b.

Доказательство. (1) Пусть , т. е. существует такой элемент с из К, что тогда

и, значит, Допустим теперь, что (а) с тогда и, значит, а для некоторого с из К, т. е.

(2) если а , то в силу (1). Кроме того, поскольку следовательно, Если то а в силу (1);

(3) если то в силу и, значит, Если то и поэтому следовательно, а

(4) пусть b есть собственный делитель а, т. е. Тогда в силу (1) и

значит,

(5) если (а) то в силу а и в силу

и, значит, . Обратное следует из (1) и (3).