Научная библиотека служит для получения быстрого и удобного доступа к информации естественно-научных изданий, получивших широкое распространение в России и за рубежом. На сайте впервые широкой публике представлены некоторые авторские издания написанные ведущими учеными страны.
Во избежании нарушения авторского права, материал библиотеки доступен по паролю ограниченному кругу студентов и преподавателей вузов. Исключение составляют авторские издания, на которые имеются разрешения публикации в открытой печати.
Научная библиотека служит для получения быстрого и удобного доступа к информации естественно-научных изданий, получивших широкое распространение в России и за рубежом. На сайте впервые широкой публике представлены некоторые авторские издания написанные ведущими учеными страны.
Во избежании нарушения авторского права, материал библиотеки доступен по паролю ограниченному кругу студентов и преподавателей вузов. Исключение составляют авторские издания, на которые имеются разрешения публикации в открытой печати.
Изоморфизм алгебры линейных операторов и полной матричной алгебры.
Пусть и — линейные алгебры над полем Отображение алгебры на алгебру называется изоморфизмом, если оно инъективно и сохраняет главные операции алгебры , т. е.
для любых и любого . Алгебры и называют изоморфными, если существует изоморфизм алгебры на алгебру
Легко проверить, что отношение изоморфизма на какой-либо совокупности алгебр над полем есть отношение эквивалентности.
ТЕОРЕМА 3.3. Пусть — конечномерное векторное пространство над полем с фиксированным базисом Отображение, ставящее в соответствие каждому линейному оператору пространства его матрицу относительно фиксированного базиса, является изоморфизмом алгебры линейных операторов на полную матричную алгебру
Доказательство. Соответствие есть отображение множества на множество их -матриц. В силу теоремы 2.1 это отображение биективно. Кроме того, оно сохраняет все главные операции алгебры т. е.
для любых и любого Равенства (1) и (2) были доказаны в предыдущем параграфе.
Докажем равенство (3). Пусть . Тогда и, по теореме 2.3,
Таким образом, для любого вектора
Согласно теореме 2.4, отсюда следует равенство (3).
Следовательно, рассматриваемое отображение является изоморфизмом алгебры на алгебру