Упражнения

1. Выяснить, являются ли следующие множества рациональных чисел замкнутыми относительно главных операций аддитивной группы рациональных чисел:

множество всех целых чисел;

множество всех натуральных чисел;

множество всех четных целых чисел;

множество всех целых чисел, кратных данному целому ;

множество всех нечетных целых чисел;

множество всех рациональных чисел с нечетными знаменателями;

множество всех рациональных чисел с четными знаменателями.

2. Выяснить, являются ли следующие множества рациональных чисел замкнутыми относительно главных операций мультипликативной группы рациональных чисел:

множество

множество всех отличных от нуля чисел с четными знаменателями;

множество всех отличных от нуля рациональных чисел с нечетными знаменателями;

множество всех целочисленных степеней числа 2;

множество -целое , где — простое число.

3. Составьте таблицу умножения для элементов следующих групп;

группа вращений правильного треугольника;

группа вращений квадрата;

группа вращений правильного пятиугольника;

аддитивная группа классов вычетов по модулю 5;

мультипликативная группа классов вычетов по модулю 5, взаимно простых с числом 5;

группа всех симметрий ромба;

группа всех симметрий правильного треугольника;

симметрическая группа подстановок третьей степени;

группа симметрий прямоугольника, не являющегося квадратом;

группа всех симметрий квадрата.

4. Докажите с помощью индукции, что порядок симметрической группы подстановок степени равен

5. Докажите, что если (е—единичный элемент группы) для любого элемента а мультипликативной группы, то группа абелева.

6. Пусть g и -элементы мультипликативной группы Определим степень с отрицательным показателем: Докажите, что для любых чисел :

7. Докажите, что всякая группа с четырьмя или меньшим числом элементов абелева.

8. Покажите, что всякая группа с тремя элементами является циклической. Докажите, что любые две группы, имеющие по три элемента каждая, изоморфны

9. Пусть — аддитивная абелева группа и — целое число. Покажите, что отображение является эндоморфизмом группы

10. Покажите, что отображение является изоморфизмохм аддитивной группы действительных чисел на мультипликативную группу положительных действительных чисел.

11. Докажите, что симметрическая группа подстановок третьей степени изоморфна группе симметрий правильного треугольника.

12. Докажите, что группа вращений квадрата не изоморфна группе симметрий ромба.

13. Пусть - мультипликативная абелева группа. Покажите, что отображение является автоморфизмом группы

14. Докажите, что группа симметрий правильного тетраэдра изоморфна симметрической группе подстановок четвертой степени.

15. Докажите, что алгебра, изоморфная группе, является группой.