9. Автоморфизмы группы.

Мы уже упоминали, что автоморфизмами группы называются изоморфные отображения группы G на себя. Среди автоморфизмов мы выделили внутренние автоморфизмы, вызываемые преобразованиями сопряжения посредством элементов группы.

Предложение 4. Внутренние автоморфизмы образуют нормальную подгруппу группы всех автоморфизмов.

Доказательство. Будем обозначать автоморфизмы как правые операторы в показателе, внутренний автоморфизм, вызванный сопряжением посредством элемента , обозначим . Нужно доказать, что при любом автоморфизме а автоморфизм есть тоже внутренний автоморфизм. Применим автоморфизм к произвольному элементу а группы. Получим:

В силу того, что а — автоморфизм, это выражение равно так что есть внутренний автоморфизм посредством элемента .

Факторгруппа группы всех автоморфизмов группы по подгруппе внутренних автоморфизмов называется группой внешних автоморфизмов.

Предложение 5. Группа внутренних автоморфизмов группы G изоморфна факторгруппе группы G по ее центру.

Доказательство. Мы уже рассматривали группу G как -множество по отношению к действию сопряжения Это действие индуцирует в G группу преобразований. Стабилизатором элемента ней является централизатор а, пересечение всех централизаторов есть центр G, ибо если элемент принадлежит централизаторам всех элементов, то он должен быть перестановочен со всеми элементами G, т. е. должен принадлежать центру и, конечно, каждый элемент центра принадлежит централизаторам всех элементов. В силу п. 8 группа внутренних автоморфизмов действительно изоморфна факторгруппе по центру.

Любая абелева группа не имеет нетривиальных внутренних автоморфизмов, ибо в абелевой группе при любых а и . Внешние же автоморфизмы есть даже у циклических групп. Бесконечная циклическая группа, порожденная элементом а, имеет лишь один нетождественный автоморфизм Действительно, образующим бесконечной циклической группы будет либо а, либо . Ясно, однако, что любой автоморфизм должен переводить образующий в образующий. Автоморфизм а есть тождественный автоморфизм, автоморфизм преобразует

Для конечной же циклической группы порядка существует автоморфизмов, именно, автоморфизм может преобразовать образующий а в любой другой образующий, а таковыми являются при причем m нужно рассматривать по модулю .

Группа, центр которой состоит только из 1, и все автоморфизмы внутренние, называется совершенной. Можно доказать, что симметрические группы подстановок совершенны при . Для группы же факторгруппа группы всех автоморфизмов по группе внутренних автоморфизмов имеет индекс 2. Доказательства этих предложений не очень просты.