Главная > Математика > Лекции по алгебре
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

4. Замена базиса и преобразование координат.

Пусть в пространстве S наряду с исходным базисом рассматривается другой базис Векторы, составляющие этот базис, выражаются через векторы исходного базиса линейно, с коэффициентами из основного поля:

(я сознательно применил необычную индексацию: здесь в матрице коэффициентов второй индекс обозначает номер строки и первый — номер столбца).

Матрица

называется матрицей замены базиса на

В свою рчередь, векторы исходного базиса выражаются через векторы нового:

Подставив в эти формулы вместо их выражения через ей получим:

где матрица

В силу линейной независимости системы базисных векторов заключаем, что при

Следовательно, — единичная матрица, а матрицы обратные, и потому каждая из них невырожденна.

Выясним теперь, как изменяются координаты векторов при замене базиса. С этой целью обратимся к координатной записи векторов. Формулы (1) в координатах означают, что в базисе вектор имеет координатный столбец (си, вектор—столбец вектор — столбец Пусть вектор имеет координатный столбец в базисе и столбец — в базисе Тогда Сравнивая координаты по отношению к базису ей в левой и правой части последнего равенства, получим

Матрица называется матрицей преобразования координат. Она транспонирована с матрицей замены базиса. Ее элементы являются коэффициентами в линейных выражениях исходных координат через новые. Обратная матрица дает выражения новых координат через старые.

Матрица, обратная к транспонированной для некоторой матрицы, называется контраградиентной с ней. Таким образом, матрица, дающая выражение новых координат через исходные, контраградиентна с матрицей замены базиса или, что то же самое, координаты вектора изменяются контравариантно с векторами базиса.

Легко видеть, что матрица, контраградиентная с произведением матриц, равна произведению контраградиентных в том же порядке.

Действительно,

Таким образом, переход к контраградиентным есть автоморфизм в группе всех невырожденных матриц.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление