§ 4. Обобщенная теорема Штурма

1. Индекс полинома с вещественными коэффициентами относительно другого полинома.

Пусть f и g — два взаимно простых полинома с вещественными коэффициентами. Скажем, что вещественный корень полинома f есть корень первого типа относительно g, если произведение меняет знак с минуса на плюс, когда возрастая, проходит через и, соответственно, есть корень второго типа, если меняет знак с плюса на минус. Ясно, что корни первого и второго типа являются корнями нечетной кратности ибо, в силу взаимной простоты если то и знак меняется, только если меняется знак что имеет место, только если есть корень нечетной кратности.

Индексом на промежутке полинома такого, что относительно полинома g называется разность числа корней f первого и второго типа относительно g (кратные корни считаются по одному разу, корни четной кратности оставляются без внимания).

2. Обобщение теоремы Штурма.

Пусть для взаимно простых полиномов и g с вещественными коэффициентами построен ряд полиномов удовлетворяющий первым трем требованиям ряда Штурма на некотором промежутке .

В частности, такой ряд можно построить при помощи алгорифма Евклида с изменением знаков остатков на обратный:

Так построенный ряд полиномов будем по-прежнему называть рядом Штурма.

Теорема. Допустим, что не обращается в нуль на концах промежутка . Разность числа перемен знаков в значениях полиномов ряда Штурма в начале и в конце промежутка равна индексу полинома f относительно полинома

Доказательство. Ясно, что так же, как при доказательстве теоремы п. 2 § 3, возможное изменение знаков промежуточных полиномов ряда не влечет за собой изменение числа перемен знаков. Оно может произойти только за счет пары полиномов Здесь могут представиться четыре случая:

В первом случае есть корень первого типа, а число перемен знаков уменьшается на единицу. Во втором есть корень второго типа, и число перемен знаков увеличивается на единицу. В третьем и четвертом случаях есть корень четной кратности, а число перемен знаков не изменяется. Следовательно, пока переходит от а к b, число перемен знаков уменьшается на столько единиц, сколько имеется в промежутке корней первого типа, и увеличивается на столько единиц, сколько есть корней второго типа. Таким образом, разность числа перемен знаков в начале и в конце промежутка равна индексу относительно

3. Полиномы с разделяющимися корнями.

Пусть имеется последовательность полиномов степени которых равны, соответственно , старшие коэффициенты положительны, и имеются трехчленные соотношения:

. Соотношения эти показывают, что полиномы составляют ряд Штурма, полученный исходя из посредством алгорифма Евклида, причем алгорифм Евклида протекает «без вырождения», т. е. степень каждого последующего остатка на единицу меньше степени предыдущего.

Распределение знаков, очевидно, дается следующей таблицей:

так что число перемен знаков при равно и при равно 0. Это значит, что все корни полинома вещественны и все первого типа по отношению к Последнее значит, что произведение меняет знак с минуса на плюс каждый раз, когда возрастая, проходит через корень полинома Следовательно, между соседними корнями произведение должно изменить знак с плюса на минус, что возможно только при переходе через корень . Таким образом, между соседними корнями полинома имеется корень полинома . Так как число корней полинома равно и число интервалов между соседними корнями полинома тоже равно в каждом таком интервале лежит только один корень полинома Про такое расположение корней двух полиномов говорят, что корни разделяются.

Из сказанного ясно также, что корни всех полиномов вещественны и корни соседних полиномов разделяются.

Интересно заметить, что установленная связь между свойствами ряда Штурма для пары полиномов и тем, что их корни вещественны и разделяются, обратима. Именно, если имеются два полинома степеней соответственно, с положительными старшими коэффициентами и с вещественными разделяющимися корнями, то алгорифм Евклида для построения ряда Штурма проходит без вырождения, так что все неполные частные имеют первую степень и старшие коэффициенты всех полиномов ряда Штурма положительны. Действительно, пусть — корни полинома — корни полинома причем

Для полинома степени числа будут корнями, причем простыми, ибо их число равно степени полинома. Поэтому меняет знак каждый раз, когда проходит через эти корни. При достаточно больших по модулю отрицательных значениях полином принимает отрицательные значения. Поэтому первая перемена знака, когда проходит через будет с минуса на плюс. Следующая, при переходе через будет с плюса на минус и т. д. Таким образом, при переходе через все корни полинома полином меняет знак с минуса на плюс, так что все корни имеют первый тип по отношению к .

Следовательно, разность числа перемен знаков в значениях ряда Штурма, построенного исходя из при помощи алгорифма Евклида, при равна , что возможно только в случае, если алгорифм проходит без вырождения и старшие коэффициенты всех полиномов ряда Штурма положительны.

4. Число корней полинома в полуплоскости.

В теории дифференциальных уравнений и в ее приложениях важную роль играет распределение корней полинома в левой и правой полуплоскостях плоскости комплексной переменной . Технически удобнее исследовать этот вопрос для верхней и нижней полуплоскости; первая задача сводится ко второй посредством замены

Пусть — полином с вещественными и Положим

Будем считать, что не имеет вещественных корней. Это равносильно тому, что не имеют общих вещественных корней, так что если они не взаимно просты, то их наибольший общий делитель не имеет вещественных корней и, следовательно, не меняет знак при изменении по всей вещественной оси.

Пусть двигается по всей вещественной оси от Тогда будет описывать некоторую непрерывную линию на плоскости, не проходящую через начало координат.

При и , так что аргумент при и стремится к целому кратному , и приращение аргумента при прохождении по всех вещественной оси равно целому кратному . Это значит, что линия, по которой перемещается совершает целое число полуоборотов вокруг начала координат.

Рис. 15.

Разложим на линейные множители над

Все лежат или выше, или ниже вещественной оси. Ясно, что если выше вещественной оси, и если ниже вещественной оси (см. рис. 15). Следовательно, где — число корней в верхней полуплоскости, в нижней (с учетом кратностей).

Число полуоборотов можно подсчитать при помощи следующих геометрически наглядных соображений. Кривая, по которой перемещается при каждом полуобороте должна Пересекать ось ординат.

Это будет происходить каждый раз, когда проходит через корень нечетной кратности полинома Линия, изображающая может пересекать ось ординат в положительном направлении, переходя из первой четверти во вторую или из третьей в четвертую, или в отрицательном направлении (из второй четверти в первую или из четвертой в третью; рис. 16). Интуитивно ясно, что число полуоборотов вокруг начала равно разности числа положительных пересечений линии с осью ординат и числа отрицательных пересечений (в предположении, что число полуоборотов в отрицательном направлении считается отрицательным числом).

Рис. 16.

Более подробно это можно пояснить следующим образом. С вектором из начала координат в свяжем вектор единичной длины того же направления, его конец будет перемещаться по единичной окружности. Приращение аргумента разумеется, равно приращению аргумента соответствующего единичного вектора. Ясно, что если единичный вектор проходит некоторую дугу окружности и затем возвращается обратно, то такое перемещение можно исключить без изменения суммарного приращения аргумента. Пометим последовательные пересечения точкой оси ординат последовательностью знаков в соответствии с направлением этого пересечения. Пусть в получившейся записи окажутся рядом Это значит, что перешел из первой четверти во вторую (или из третьей в четвертую) и возвратился из второй четверти в первую (соответственно, из четвертой в третью), ибо попасть в противоположную четверть, не пересекая оси ординат, не может. Соответствующий единичный вектор тоже идет вспять, и часть пути, содержащую обе точки пересечения, можно исключить. Аналогично можно исключить последовательность — . После таких преобразований мы придем к движению, в котором все пересечения имеют один и тот же знак, и их число (с учетом знаков) равно разности числа положительных и числа отрицательных пересечений. Но если все пересечения имеют одинаковое направление, то их число, очевидно, равно числу полуоборотов в том же направлении.

Если имеет место при положительное пересечение линии с осью ординат, то либо меняет знак с плюса на минус, либо меняет знак с минуса на плюс. В обоих случаях меняет знак с минуса на плюс, т. е. является корнем второго типа. Соответственно, если при имеет место отрицательное пересечение, то является корнем первого типа относительно

Сопоставляя все сказанное, получим, что разность числа корней в верхней и нижней полуплоскостях равно взятому со знаком минус индексу полинома относительно на всей прямой

Определить индекс можно при помощи ряда Штурма, составленного посредством алгорифма Евклида. Если окажется, что не взаимно просты, то за последний полином ряда следует взять наибольший общий делитель g и , который не имеет вещественных корней и, следовательно, не меняет знака при

Пример не имеет кратных корней. Рассмотрим полином , где К — вещественный параметр, и выясним расположение его корней.

Пусть g имеет s вещественных корней и t пар сопряженных комплексных, так что . Пусть . Ясно, что индекс относительно такой же, как относительно . Все вещественные корни являются корнями первого типа относительно так что индекс g относительно g равен s. Следовательно, где — число корней полинома в верхней и нижней плоскости. Вместе с это дает При получим

При непрерывном изменении корни меняются непрерывно, и их пути не пересекают вещественную ось при поэтому они только при переходе через 0 могут переходить из верхней полуплоскости в нижнюю и обратно. При этом t корней (т. е. корни ) при лежащих в верхней полуплоскости, при изменении К будут оставаться в верхней полуплоскости, t корней, лежащих в нижней полуплоскости, останутся в нижней. Что касается s вещественных корней то при они опустятся вниз, а при поднимутся вверх.

Пример 2. Узнать, сколько корней в левой полуплоскости имеет полином

Сделав замену и умножив на , придем к полиному который имеет в верхней полуплоскости столько же корней, сколько имеет в левой полуплоскости. Применяя алгорифм Евклида к построим для них ряд Штурма: . Получаем, что индекс относительно на промежутке равен —3. Значит, все три корня полинома лежат в верхней полуплоскости и, следовательно, все корни находятся в левой полуплоскости.