5. Схема Хорнера и теорема Безу.

Если для полиномов из существует такой полином , что , то говорят, что полином делится на полином Наша ближайшая задача заключается в выяснении вопроса о делимости на линейный двучлен при .

Прежде всего установим, что всегда осуществимо так называемое деление с остатком: при . Здесь полином называется неполным частным, а — остатком.

Теорема 3. Пусть Найдутся полином и элемент такие, что

Доказательство. Естественно искать в форме Сравнение коэффициентов показывает равносильность равенства цепочке равенств

откуда последовательно определяются коэффициенты и остаток :

Теорема доказана. Кроме того, получен очень удобный способ вычисления коэффициентов и остатка . Этот способ носит название схемы Хорнера.

Заметим сразу, что остаток равен значению полинома при . Действительно, переходя в равенстве к значениям при получим , откуда

Пример. Найти неполное частное и остаток при делении полинома на

Выпишем последовательно коэффициенты полинома и, после вертикальной черты, число 2:

Под этой строкой запишем коэффициенты неполного частного и остаток, пользуясь только что выведенными формулами:

(остаток — подчеркнутое число). Итак,

Теорема 4 (Безу). Для того чтобы полином делился на необходимо и достаточно, чтобы

Доказательство. Необходимость. Пусть делится на . Тогда

Достаточность. Пусть . Тогда в равенстве будет . Теорема доказана полностью.

Элемент с кольца А называется корнем полинома если . Таким образом, теорема Безу может быть сформулирована так: для того чтобы полином делился на двучлен при , необходимо и достаточно, чтобы с было корнем .