Научная библиотека

4. Свойства определителя.

1. Общее правило знаков. Для дальнейшего будет полезно узнавать, с каким знаком входит в определитель слагаемое , где — две перестановки чисел .

Для того чтобы узнать это, следует расположить сомножители в порядке следования строк. Заметим, что если поменять местами два сомножителя, то происходит транспозиция как в первых, так и во вторых индексах, так что число инверсий в первых индексах и число инверсий во вторых индексах меняются на нечетные числа, и потому их сумма меняется на четное число. Поэтому не изменяется при перемене мест двух сомножителей, а следовательно, и при любом изменений порядка сомножителей, ибо любое изменение порядка равносильно нескольким попарным переменам мест. Отсюда следует, что знак, с которым входит слагаемое в определитель, есть . Действительно, пусть — последовательность номеров столбцов после приведения сомножителей в порядок следования строк, так что Тогда

а это и есть множитель ±1, с которым интересующее нас слагаемое входит в состав определителя.

2. Определитель транспонированной матрицы равен исходной. Другими словами — определитель не меняется при транспонировании матрицы.

Действительно, брать произведения элементов по одному из каждой строки и по одному из каждого столбца исходной матрицы — то же самое, что делать это по отношению к транспонированной матрице. Далее, номера строк для исходной — это номера столбцов для транспонированной, а номера столбцов исходной суть номера строк транспонированной. Поэтому каждое слагаемое входит в состав определителя исходной матрицы и определителя транспонированной с одним и тем же множителем

Установленные два свойства указывают, что в определителе строки и столбцы совершенно равноправны. Поэтому все дальнейшие свойства, устанавливаемые для строк, остаются справедливыми и для столбцов.

Следующие два свойства означают линейность определителя относительно элементов любой его строки.

3. Если элементы какой-либо строки представлены в виде суммы двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, в первом из которых элементы отмеченной строки равны первым слагаемым, во втором — вторым.

Это свойство становится прозрачнее, если от словесной формулировки перейти к формуле:

Доказательство.

Ясно, что первая сумма равна , а вторая равна

Доказанное свойство естественным образом обобщается на случай, когда элементы строки представлены в виде суммы нескольких слагаемых.

4. Если все элементы какой-либо строки определителя имеют общий множитель, то этот общий множитель можно вынести за знак определителя.

Действительно,

5. Определитель с двумя одинаковыми строками равен нулю.

6. Если в матрице поменять местами две строки, то ее определитель изменит знак на обратный.

Эти два свойства тесно связаны и играют особо важную роль в теории определителей.

Докажем сначала 5-е свойство, потом 6-е.

Пусть дан определитель с двумя одинаковыми строками:

причем

Разобьем сумму на две части, соответствующие четным и нечетным перестановкам:

нечетн.

Вспомним, что все нечетные перестановки получаются, если во всех четных перестановках сделать одну и ту же транспозицию Поэтому

Но . Поэтому для каждого слагаемого первой суммы найдется равное ему слагаемое во второй, так что , что и требовалось доказать.

Обратимся теперь к доказательству свойства, причем позволим себе обозначить переставляемые строки просто I и II. Нам нужно сравнить определители

С этой целью рассмотрим вспомогательный определитель, заведомо равный нулю:

Мы два раза воспользовались свойством 3.

Первое и четвертое слагаемые равны нулю. Следовательно, сумма второго и третьего равна нулю, что и требовалось доказать.

Рассмотрим другой путь доказательства свойств 5 и 6. Начнем с шестого. Пусть

Возьмем какое-либо слагаемое из второго определителя, записанное в порядке следования его строк:

Оно входит в состав с множителем . Но , так что в А оно входит с множителем . Ясно, что так что каждое слагаемое из А входит в А с противоположным знаком, т. е.

Теперь для доказательства свойства 5 рассмотрим определитель с двумя одинаковыми строками и переменим местами эти строки. С одной стороны, он при этом изменит знак, но вместе с тем он не изменится. Следовательно, .

Однако это рассуждение применимо, только если в кольце возможно деление на 2, так что из следует

В поле вычетов по модулю 2 мы не могли бы сделать такого вывода. В этом состоит небольшой недостаток второго доказательства сравнительно с первым.

7. Определитель с двумя пропорциональными строками равен нулю.

Действительно, если, согласно свойству 4, вынести за знак определителя коэффициент пропорциональности, то остается определитель с равными строками, который равен нулю.

8. Определитель не меняется, если к какой-либо его строке добавить числа, пропорциональные другой строке.

Действительно,

Свойство 8 особенно важно, так как оно дает ключ к вычислению определителей.

Рассмотрим небольшой пример.

Пусть требуется вычислить определитель

Прибавим ко второй строке первую, умноженную на —1, затем к третьей прибавим первую, умноженную на —1, и затем к четвертой прибавим первую, умноженную на —1. Получим равный определитель

Теперь прибавим к четвертой строке третью, умноженную на —1, и к четвертой — вторую, умноженную на —1.

Получим равный определитель

Теперь оказывается, что из 24 слагаемых определителя отлично от нуля только одно: . Перестановка (1, 3, 2, 4) нечетная, следовательно, определитель равен —16.